nierówność z wartością bezwzględną tw.Cauchy'ego

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
nicniewiem+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 gru 2018, o 17:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

nierówność z wartością bezwzględną tw.Cauchy'ego

Post autor: nicniewiem+ » 1 kwie 2019, o 21:40

Jak pokazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left| a_{k} \right| \le \sqrt{n}\left( \sum_{k=1}^{n} a_{k} ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} } \le \sqrt{n} \left( \sum_{k=1}^{n}\left| a_{k} \right| \right)}\)

Widzę, że pierwsza wynika z tw. Cauchy'ego, ale jak wykazać drugą?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14380
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4729 razy

Re: nierówność z wartością bezwzględną tw.Cauchy'ego

Post autor: Premislav » 1 kwie 2019, o 21:47

Na przykład podnieść stronami do kwadratu, poredukować co się da i zauważyć, że zostaną po prawej nieujemne wyrazy.-- 1 kwi 2019, o 21:00 --Dokładnie zostanie
\(\displaystyle{ 2 \sum_{1\le j<k\le n}^{} |a_j||a_k|}\)

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2505
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 352 razy

Re: nierówność z wartością bezwzględną tw.Cauchy'ego

Post autor: Dilectus » 1 kwie 2019, o 22:06

Premislav, jak będzie ze znakami tej nierówności, jeżeli czynniki będą mniejsze od jeden? Trzeba by zmienić ich kierunek.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14380
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4729 razy

Re: nierówność z wartością bezwzględną tw.Cauchy'ego

Post autor: Premislav » 1 kwie 2019, o 22:26

Dilectus, nie zgodzę się. Proponuję sprawdzić to sobie może dla dwóch liczb, dalej jest analogicznie.
Aha, tam w pamięci podzieliłem przez te niepotrzebne \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\), które nic nie wnoszą.

Jeszcze taka uwaga: można tę nierówność bardzo łatwo wykazać też indukcyjnie, ale nie widzę takiej potrzeby.
Zapewne te nierówności pojawiły się przy dowodzeniu równoważności pewnych norm.

nicniewiem+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 gru 2018, o 17:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: nierówność z wartością bezwzględną tw.Cauchy'ego

Post autor: nicniewiem+ » 1 kwie 2019, o 22:46

Bardzo dziękuję za pomoc

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17184
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2890 razy

Re: nierówność z wartością bezwzględną tw.Cauchy'ego

Post autor: a4karo » 2 kwie 2019, o 06:25

Dilectus pisze:Premislav, jak będzie ze znakami tej nierówności, jeżeli czynniki będą mniejsze od jeden? Trzeba by zmienić ich kierunek.
Tutaj z względu na jednorodność można złożyć, że \(\displaystyle{ \sum |a_i|=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ |a_i|\leq 1}\) i
\(\displaystyle{ \sum a_i^2\leq \sum|a_i|=1}\)

Tak samo pokazuje się, że
\(\displaystyle{ \left(\sum |a_i|^r\right)^{1/r}\leq \left(\sum |a_i|^s\right)^{1/s}}\) dla \(\displaystyle{ 0<r<s}\)

ODPOWIEDZ