Znajdź takie liczby g i C
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Znajdź takie liczby g i C
Hej mam problem z pewnym zadaniem i nie mam pomysłu jak się do niego zabrać :/
Znajdź takie liczb g i C ,że
\(\displaystyle{ \left|\frac{ n^{2}-n }{ \sqrt{n ^{4}+2 } } - g \right| \le \frac{C}{n}}\)
Jakby mógł mi ktoś wytłumaczyć to krok po kroku bo czeka mnie dużo takich zadań a chcę to po prostu zrozumieć Dzięki!
Znajdź takie liczb g i C ,że
\(\displaystyle{ \left|\frac{ n^{2}-n }{ \sqrt{n ^{4}+2 } } - g \right| \le \frac{C}{n}}\)
Jakby mógł mi ktoś wytłumaczyć to krok po kroku bo czeka mnie dużo takich zadań a chcę to po prostu zrozumieć Dzięki!
Re: Znajdź takie liczby g i C
Jakim kwantyfikatorem objęte jest \(\displaystyle{ n}\)? Ja domniemywam, że ogólnym.
Ostatnio zmieniony 18 mar 2019, o 17:00 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Re: Znajdź takie liczby g i C
Dalej nie rozumiem :/ g=1 ale nawet nie wiem dlaczego i co mogę dlaej z tym zrobić i jak dalej ma się to do nierówności :/
Re: Znajdź takie liczby g i C
Tak - granica wynosi \(\displaystyle{ 1.}\)
Teraz oblicz różnicę pod modułem. Zbadaj asymptotykę. Zobacz, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^4+2}\approx n^2.}\). Więc ta różnica (moduł z niej) to mniej więcej \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}.}\) W praktyce \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) może nie starczyć - weź \(\displaystyle{ \frac{2}{n}.}\) Więc \(\displaystyle{ C=2.}\) Narysuj wykres, a potem wykaż.
Możesz też posiłkować się nierównością \(\displaystyle{ n^2<\sqrt{n^4+2}<n^2\sqrt{2}.}\)
Teraz oblicz różnicę pod modułem. Zbadaj asymptotykę. Zobacz, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^4+2}\approx n^2.}\). Więc ta różnica (moduł z niej) to mniej więcej \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}.}\) W praktyce \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) może nie starczyć - weź \(\displaystyle{ \frac{2}{n}.}\) Więc \(\displaystyle{ C=2.}\) Narysuj wykres, a potem wykaż.
Możesz też posiłkować się nierównością \(\displaystyle{ n^2<\sqrt{n^4+2}<n^2\sqrt{2}.}\)
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Znajdź takie liczby g i C
I znów: zadania z Analizy 1 (by JWr), tym razem mające wyrobić pewne intuicje dotyczące szacowań PRZED wprowadzeniem pojęcia granicy.
JK
JK
Re: Znajdź takie liczby g i C
A skąd mam to wiedzieć?Jan Kraszewski pisze:I znów: zadania z Analizy 1 (by JWr), tym razem mające wyrobić pewne intuicje dotyczące szacowań PRZED wprowadzeniem pojęcia granicy.
JK
Stąd można łatwo otrzymać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{n^2-n}{\sqrt{n^4+2}}<1-\frac{1}{n},}\) a z tym już można zrobić coś konkretnego.Możesz też posiłkować się nierównością \(\displaystyle{ n^2<\sqrt{n^4+2}<n^2\sqrt{2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Re: Znajdź takie liczby g i C
Tak jak pokazałem powyżej. Jednak bez tego pojęcia rozwiązanie wydaje mi się trochę sztuczne. Ktokolwiek studiuje matematykę, pojęcie granicy zna. Mając je, trywialnie widać, że \(\displaystyle{ g=1}\) i można coś robić. Mamy za zadanie znaleźć te liczby. Dobra jest każda metoda, byle poprawna. Bez granicy to mniej więcej tak, jakby dla sportu kazać umyć cały samochód szczoteczką do zębów. Możliwe? Owszem. Ale bardzo niepraktyczne.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Znajdź takie liczby g i C
A jeśli nie pojawiło się pojęcie granicy (w mojej opinii naturalnie związane z tym zadaniem), to co w ogóle się pojawiło? Kres górny, kres dolny, cokolwiek takiego? Myślę, że bez odpowiedzi na to pytanie udzielanie kolejnych wskazówek nie ma wielkiego sensu.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Moim zdaniem „wyrabianie intuicji" na takich zadaniach przed wprowadzeniem pojęcia granicy raczej może blokować i straszyć studentów (intuicję to można wyrabiać na \(\displaystyle{ \frac 1 x}\) ), no ale nie jestem dydaktykiem matematyki.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Moim zdaniem „wyrabianie intuicji" na takich zadaniach przed wprowadzeniem pojęcia granicy raczej może blokować i straszyć studentów (intuicję to można wyrabiać na \(\displaystyle{ \frac 1 x}\) ), no ale nie jestem dydaktykiem matematyki.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Re: Znajdź takie liczby g i C
Jedyne co jest napisane w treści zadania to "Znajdź liczby g oraz C takie ,że" i sam do końca nie zrozumiałem treści samego zadania skoro czytam posty o granicy oraz twierdzeniu 3 ciągów :/
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Znajdź takie liczby g i C
Zauważasz, że wyrażenia \(\displaystyle{ n^{2}-n}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{n ^{4}+2 }}\) są tego samego rzędu, więc to pozwala Ci przypuszczać, że \(\displaystyle{ g=1}\). Potem szacujesz:kacpersowinski pisze:A jak można zrobić to zadanie NIE stosując granicy ?
\(\displaystyle{ \left|\frac{ n^{2}-n }{ \sqrt{n ^{4}+2 } } - 1 \right|=\frac{\left| n^{2}-n -\sqrt{n ^{4}+2 } \right|}{ \sqrt{n ^{4}+2 } }\le \frac{\left| n^{2}-n -\sqrt{n ^{4}+2 } \right|}{ \sqrt{n ^{4}+0 } } =\frac{\left|\frac{ \left( n^{2}-n -\sqrt{n ^{4}+2 }\right)\left( n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }\right) }{ n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }} \right|}{ n^2 } }=\\=\frac{\left| -2n^3+n^2-2\right| }{n^2\cdot \left( n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }\right)}=\frac{2n^3-n^2+2 }{n^2\cdot \left( n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }\right)}\le\frac{2n^3-0+2n^3}{n^2\cdot \left( n^{2}-n^2 +\sqrt{n ^{4}+0 }\right)}=\\=\frac{4n^3 }{ n^4}\right)}=\frac{4}{n}.}\)
Oczywiście należy widzieć, dlaczego w niektórych miejscach mogłem opuścić wartości bezwzględne.
Nie bądź taki pewny, to jest początek pierwszego semestru... W tym zadaniu chodzi raczej o wyrobienie poprawnych nawyków dotyczących szacowania wyrażeń.szw1710 pisze:Jednak bez tego pojęcia rozwiązanie wydaje mi się trochę sztuczne. Ktokolwiek studiuje matematykę, pojęcie granicy zna.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Re: Znajdź takie liczby g i C
Dziękuję za to rozwiązanie ! teraz wszystko zrozumiałem skąd się wszystko bierze