Znajdź takie liczby g i C

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
kacpersowinski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Znajdź takie liczby g i C

Post autor: kacpersowinski » 18 mar 2019, o 16:33

Hej mam problem z pewnym zadaniem i nie mam pomysłu jak się do niego zabrać :/

Znajdź takie liczb g i C ,że

\(\displaystyle{ \left|\frac{ n^{2}-n }{ \sqrt{n ^{4}+2 } } - g \right| \le \frac{C}{n}}\)

Jakby mógł mi ktoś wytłumaczyć to krok po kroku bo czeka mnie dużo takich zadań a chcę to po prostu zrozumieć Dzięki!

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18704
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3710 razy

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: szw1710 » 18 mar 2019, o 16:48

Jakim kwantyfikatorem objęte jest \(\displaystyle{ n}\)? Ja domniemywam, że ogólnym.
Ostatnio zmieniony 18 mar 2019, o 17:00 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.

kacpersowinski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: kacpersowinski » 18 mar 2019, o 16:54

Dalej nie rozumiem :/ g=1 ale nawet nie wiem dlaczego i co mogę dlaej z tym zrobić i jak dalej ma się to do nierówności :/

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18704
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3710 razy

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: szw1710 » 18 mar 2019, o 17:06

Tak - granica wynosi \(\displaystyle{ 1.}\)

Teraz oblicz różnicę pod modułem. Zbadaj asymptotykę. Zobacz, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^4+2}\approx n^2.}\). Więc ta różnica (moduł z niej) to mniej więcej \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}.}\) W praktyce \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) może nie starczyć - weź \(\displaystyle{ \frac{2}{n}.}\) Więc \(\displaystyle{ C=2.}\) Narysuj wykres, a potem wykaż.

Możesz też posiłkować się nierównością \(\displaystyle{ n^2<\sqrt{n^4+2}<n^2\sqrt{2}.}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25586
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4265 razy

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: Jan Kraszewski » 18 mar 2019, o 17:31

I znów: zadania z Analizy 1 (by JWr), tym razem mające wyrobić pewne intuicje dotyczące szacowań PRZED wprowadzeniem pojęcia granicy.

JK

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18704
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3710 razy

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: szw1710 » 18 mar 2019, o 17:42

Jan Kraszewski pisze:I znów: zadania z Analizy 1 (by JWr), tym razem mające wyrobić pewne intuicje dotyczące szacowań PRZED wprowadzeniem pojęcia granicy.

JK
A skąd mam to wiedzieć?
Możesz też posiłkować się nierównością \(\displaystyle{ n^2<\sqrt{n^4+2}<n^2\sqrt{2}}\).
Stąd można łatwo otrzymać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{n^2-n}{\sqrt{n^4+2}}<1-\frac{1}{n},}\) a z tym już można zrobić coś konkretnego.

kacpersowinski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: kacpersowinski » 18 mar 2019, o 17:45

A jak można zrobić to zadanie NIE stosując granicy ?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18704
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3710 razy

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: szw1710 » 18 mar 2019, o 17:54

Tak jak pokazałem powyżej. Jednak bez tego pojęcia rozwiązanie wydaje mi się trochę sztuczne. Ktokolwiek studiuje matematykę, pojęcie granicy zna. Mając je, trywialnie widać, że \(\displaystyle{ g=1}\) i można coś robić. Mamy za zadanie znaleźć te liczby. Dobra jest każda metoda, byle poprawna. Bez granicy to mniej więcej tak, jakby dla sportu kazać umyć cały samochód szczoteczką do zębów. Możliwe? Owszem. Ale bardzo niepraktyczne.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: Premislav » 18 mar 2019, o 18:14

A jeśli nie pojawiło się pojęcie granicy (w mojej opinii naturalnie związane z tym zadaniem), to co w ogóle się pojawiło? Kres górny, kres dolny, cokolwiek takiego? Myślę, że bez odpowiedzi na to pytanie udzielanie kolejnych wskazówek nie ma wielkiego sensu.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Moim zdaniem „wyrabianie intuicji" na takich zadaniach przed wprowadzeniem pojęcia granicy raczej może blokować i straszyć studentów (intuicję to można wyrabiać na \(\displaystyle{ \frac 1 x}\) ), no ale nie jestem dydaktykiem matematyki.

kacpersowinski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: kacpersowinski » 18 mar 2019, o 18:25

Jedyne co jest napisane w treści zadania to "Znajdź liczby g oraz C takie ,że" i sam do końca nie zrozumiałem treści samego zadania skoro czytam posty o granicy oraz twierdzeniu 3 ciągów :/

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25586
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4265 razy

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: Jan Kraszewski » 18 mar 2019, o 18:26

kacpersowinski pisze:A jak można zrobić to zadanie NIE stosując granicy ?
Zauważasz, że wyrażenia \(\displaystyle{ n^{2}-n}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{n ^{4}+2 }}\) są tego samego rzędu, więc to pozwala Ci przypuszczać, że \(\displaystyle{ g=1}\). Potem szacujesz:

\(\displaystyle{ \left|\frac{ n^{2}-n }{ \sqrt{n ^{4}+2 } } - 1 \right|=\frac{\left| n^{2}-n -\sqrt{n ^{4}+2 } \right|}{ \sqrt{n ^{4}+2 } }\le \frac{\left| n^{2}-n -\sqrt{n ^{4}+2 } \right|}{ \sqrt{n ^{4}+0 } } =\frac{\left|\frac{ \left( n^{2}-n -\sqrt{n ^{4}+2 }\right)\left( n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }\right) }{ n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }} \right|}{ n^2 } }=\\=\frac{\left| -2n^3+n^2-2\right| }{n^2\cdot \left( n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }\right)}=\frac{2n^3-n^2+2 }{n^2\cdot \left( n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }\right)}\le\frac{2n^3-0+2n^3}{n^2\cdot \left( n^{2}-n^2 +\sqrt{n ^{4}+0 }\right)}=\\=\frac{4n^3 }{ n^4}\right)}=\frac{4}{n}.}\)

Oczywiście należy widzieć, dlaczego w niektórych miejscach mogłem opuścić wartości bezwzględne.
szw1710 pisze:Jednak bez tego pojęcia rozwiązanie wydaje mi się trochę sztuczne. Ktokolwiek studiuje matematykę, pojęcie granicy zna.
Nie bądź taki pewny, to jest początek pierwszego semestru... W tym zadaniu chodzi raczej o wyrobienie poprawnych nawyków dotyczących szacowania wyrażeń.

JK

kacpersowinski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Znajdź takie liczby g i C

Post autor: kacpersowinski » 18 mar 2019, o 18:29

Dziękuję za to rozwiązanie ! teraz wszystko zrozumiałem skąd się wszystko bierze

ODPOWIEDZ