Rozwiąż nierówność

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
Michal2115
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 24 razy

Rozwiąż nierówność

Post autor: Michal2115 » 15 mar 2019, o 01:28

Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ \frac{x+\left| x+2\right| }{x+1} \ge 1.}\)

\(\displaystyle{ x ^{2}+x+ \left| x+2\right| (x+1) \ge x ^{2} +2x+1}\)

\(\displaystyle{ x \in \left<-2, \infty \right)}\)

\(\displaystyle{ (x+1) ^{2} \ge 0 \\ x \in \left<-2,+ \infty \right) \setminus \left\{ -1\right\}}\)

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \\ (x+3)(x+1) \le 0 \\ x \in \left<-3,-1\right)}\)

W odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ x \in \langle-3,-1) \cup (-1,+ \infty )}\)
Co zrobiłem źle?
Ostatnio zmieniony 15 mar 2019, o 21:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14386
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4730 razy

Rozwiąż nierówność

Post autor: Premislav » 15 mar 2019, o 01:51

W zasadzie OK.
Należałoby zacząć od dziedziny: \(\displaystyle{ x\in \RR\setminus\left\{ -1\right\}}\).
Dla \(\displaystyle{ x\neq -1}\) możesz pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ (x+1)^2}\), jak uczyniłeś. Zabrakło mi podkreślenia tego warunku \(\displaystyle{ x\neq -1}\), ale później to uwzględniasz, bo wyrzucasz \(\displaystyle{ -1}\) ze zbioru otrzymanych rozwiązań. Ponadto jak rozważasz przypadek \(\displaystyle{ x\in(-\infty, -2)}\), to po dojściu do warunku \(\displaystyle{ (x+3)(x+1) \le 0}\) i rozwiązania tej nierówności powinieneś wziąć część wspólną zbioru rozwiązań tej nierówności z rozważanym w tym przypadku zbiorem
\(\displaystyle{ x\in(-\infty, -2)}\). w ten sposób dostaniesz zbiór \(\displaystyle{ (-3,-2)}\).

No i ostateczny zbiór rozwiązań to suma zbiorów z poszczególnych przypadków, czyli
\(\displaystyle{ \left\langle-3,-1)\cup(-1,+\infty)}\)

Michal2115
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 24 razy

Rozwiąż nierówność

Post autor: Michal2115 » 15 mar 2019, o 02:00

Meh, faktycznie. Teraz wszystko jasne, dziękuje i dobranoc Premislav!

@A co do dziedziny to uwzględniłem w zeszycie na samym początku, lecz zapomniałem ją napisać na forum.

ODPOWIEDZ