Nierówność z wartościami bezwzględnymi
: 13 mar 2019, o 15:26
Witam, w zadaniu mam obliczyć zbiór rozwiązań tej nierówności:
\(\displaystyle{ |x^{2} - 4| < |x - 2|}\)
Kiedy rozwiązuję je na przedziałach to wychodzi odpowiedź prawidłowa, czyli \(\displaystyle{ (-3; -1)}\). W szkole natomiast uczono mnie takiego sposobu rozwiązywania nierówności z wartościami bezwzględnymi:
\(\displaystyle{ x^{2} - 4 < x - 2}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} - 4 > - (x - 2)}\)
Z tym że kiedy rozwiązuję takim sposobem, to wychodzi mi zbiór pusty. Czy w tym drugim sposobie rozwiązania powinienem uwzględnić jeszcze jakieś założenia? Tak wygląda moje kompletne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x^{2} - 4 < x - 2}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} - 4 > - (x - 2)}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) < (x - 2) // -(x - 2)}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) > - (x - 2) // +(x - 2)}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) - (x - 2)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) + (x - 2) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2 -1)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2 + 1) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 1)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x +3) > 0}\)
Dwa przedziały to \(\displaystyle{ x \in (-1; 2)}\) oraz \(\displaystyle{ x \in (- \infty; -3) \cup (2; \infty )}\)
Ich częścią wspólną jest zbiór pusty. Co robię nie tak?
\(\displaystyle{ |x^{2} - 4| < |x - 2|}\)
Kiedy rozwiązuję je na przedziałach to wychodzi odpowiedź prawidłowa, czyli \(\displaystyle{ (-3; -1)}\). W szkole natomiast uczono mnie takiego sposobu rozwiązywania nierówności z wartościami bezwzględnymi:
\(\displaystyle{ x^{2} - 4 < x - 2}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} - 4 > - (x - 2)}\)
Z tym że kiedy rozwiązuję takim sposobem, to wychodzi mi zbiór pusty. Czy w tym drugim sposobie rozwiązania powinienem uwzględnić jeszcze jakieś założenia? Tak wygląda moje kompletne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x^{2} - 4 < x - 2}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} - 4 > - (x - 2)}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) < (x - 2) // -(x - 2)}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) > - (x - 2) // +(x - 2)}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) - (x - 2)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) + (x - 2) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2 -1)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2 + 1) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 1)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x +3) > 0}\)
Dwa przedziały to \(\displaystyle{ x \in (-1; 2)}\) oraz \(\displaystyle{ x \in (- \infty; -3) \cup (2; \infty )}\)
Ich częścią wspólną jest zbiór pusty. Co robię nie tak?