Matematyka.pl

Witam, w zadaniu mam obliczyć zbiór rozwiązań tej nierówności:

\(\displaystyle{ |x^{2} - 4| < |x - 2|}\)

Kiedy rozwiązuję je na przedziałach to wychodzi odpowiedź prawidłowa, czyli \(\displaystyle{ (-3; -1)}\). W szkole natomiast uczono mnie takiego sposobu rozwiązywania nierówności z wartościami bezwzględnymi:

\(\displaystyle{ x^{2} - 4 < x - 2}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} - 4 > - (x - 2)}\)

Z tym że kiedy rozwiązuję takim sposobem, to wychodzi mi zbiór pusty. Czy w tym drugim sposobie rozwiązania powinienem uwzględnić jeszcze jakieś założenia? Tak wygląda moje kompletne rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x^{2} - 4 < x - 2}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} - 4 > - (x - 2)}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) < (x - 2) // -(x - 2)}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) > - (x - 2) // +(x - 2)}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) - (x - 2)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) + (x - 2) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2 -1)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2 + 1) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 1)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x +3) > 0}\)

Dwa przedziały to \(\displaystyle{ x \in (-1; 2)}\) oraz \(\displaystyle{ x \in (- \infty; -3) \cup (2; \infty )}\)

Ich częścią wspólną jest zbiór pusty. Co robię nie tak?

Ten model stosuje się gdy mamy jedną wartość bezwzględną.Tutaj gdy mamy 2 wartości bezwzględne rozbijamy na przedziały.

Albo przekształcamy równoważnie

\(\displaystyle{ |x^{2} - 4| < |x - 2|\\
|(x-2)(x+2)| < |x - 2|\\
|x-2|\cdot|x+2| < |x - 2|}\)

Bez problemu mogę założyć, że \(\displaystyle{ x\ne 2}\) (dlaczego?) i po uproszczeniu dostajemy

\(\displaystyle{ |x+2|<1}\)

i teraz możesz już tak, jak lubisz.

JK

maciek00, możesz zilustrować rozwiązanie wykresami funkcji z lewej i prawej strony nierówności.