Nierówność z wartościami bezwzględnymi

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
maciek00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 13 mar 2019, o 14:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 4 razy

Nierówność z wartościami bezwzględnymi

Post autor: maciek00 » 13 mar 2019, o 15:26

Witam, w zadaniu mam obliczyć zbiór rozwiązań tej nierówności:

\(\displaystyle{ |x^{2} - 4| < |x - 2|}\)

Kiedy rozwiązuję je na przedziałach to wychodzi odpowiedź prawidłowa, czyli \(\displaystyle{ (-3; -1)}\). W szkole natomiast uczono mnie takiego sposobu rozwiązywania nierówności z wartościami bezwzględnymi:

\(\displaystyle{ x^{2} - 4 < x - 2}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} - 4 > - (x - 2)}\)

Z tym że kiedy rozwiązuję takim sposobem, to wychodzi mi zbiór pusty. Czy w tym drugim sposobie rozwiązania powinienem uwzględnić jeszcze jakieś założenia? Tak wygląda moje kompletne rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x^{2} - 4 < x - 2}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} - 4 > - (x - 2)}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) < (x - 2) // -(x - 2)}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) > - (x - 2) // +(x - 2)}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) - (x - 2)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) + (x - 2) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2 -1)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2 + 1) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x - 2)(x + 1)< 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - 2)(x +3) > 0}\)

Dwa przedziały to \(\displaystyle{ x \in (-1; 2)}\) oraz \(\displaystyle{ x \in (- \infty; -3) \cup (2; \infty )}\)

Ich częścią wspólną jest zbiór pusty. Co robię nie tak?

Awatar użytkownika
xxDorianxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 21 razy

Re: Nierówność z wartościami bezwzględnymi

Post autor: xxDorianxx » 13 mar 2019, o 15:32

Ten model stosuje się gdy mamy jedną wartość bezwzględną.Tutaj gdy mamy 2 wartości bezwzględne rozbijamy na przedziały.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25599
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4269 razy

Re: Nierówność z wartościami bezwzględnymi

Post autor: Jan Kraszewski » 13 mar 2019, o 15:38

Albo przekształcamy równoważnie

\(\displaystyle{ |x^{2} - 4| < |x - 2|\\ |(x-2)(x+2)| < |x - 2|\\ |x-2|\cdot|x+2| < |x - 2|}\)

Bez problemu mogę założyć, że \(\displaystyle{ x\ne 2}\) (dlaczego?) i po uproszczeniu dostajemy

\(\displaystyle{ |x+2|<1}\)

i teraz możesz już tak, jak lubisz.

JK

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2505
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 352 razy

Re: Nierówność z wartościami bezwzględnymi

Post autor: Dilectus » 14 mar 2019, o 00:44

maciek00, możesz zilustrować rozwiązanie wykresami funkcji z lewej i prawej strony nierówności.

ODPOWIEDZ