Matematyka.pl

Czy ta nierówność jest prawdziwa i dlaczego (na mocy której własności)?

\(\displaystyle{ ||a|-|b||+||c|-|d|| \ge ||a+c|-|b+d||}\)

Tak po sekundowym oglądzie węszę standard czyli nierówność trójkąta. Pobadaj to w tym kierunku.

Dam Ci przykład tego rodzaju rozumowania.

Mamy \(\displaystyle{ |a|=|(a-b)+b|\le|a-b|+|b|}\), więc \(\displaystyle{ |a|-|b|\le|a-b|.}\)

Z kolei zamieniając rolami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)mamy \(\displaystyle{ |b|-|a|\le |a-b|.}\)

Dlatego \(\displaystyle{ |a-b|\ge \bigl||a|-|b|\bigr|.}\)

A po dwusekundowym namyśle znajdujemy kontrprzykład
\(\displaystyle{ a=b=c=1,d=1}\)

a4karo pisze:A po dwusekundowym namyśle znajdujemy kontrprzykład
\(\displaystyle{ a=b=c=1,d=1}\)

Raczej

\(\displaystyle{ a=b=c=1,d=\red -\black 1}\)

JK

Jasne, że tak