Matematyka.pl

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych równanie:

\(\displaystyle{ |x|-|x+2|+|x+4|-|x+6|+...-|x+998|=\\=|x+1|-|x+3|+|x+5|-|x+7|+...-|x+999|}\)

Można się zastanowić, kiedy zachodzi nierówność \(\displaystyle{ |x+4k|+|x+4k+3|\ge |x+4k+1|+|x+4k+2|}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \left\{ 0,1, \ldots 249\right\}}\).
Zauważmy takie lematy z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac 2 3 |x+4k|+\frac 1 3|x+4k+3|\ge |x+4k+1|\\ \frac 1 3|x+4k|+\frac 2 3|x+4k+3|\ge |x+4k+2|}\)
Kiedy zajdzie równość w tychże nierównościach?-- 11 lip 2018, o 19:36 --Potem zastanów się, czy (i jeśli to możliwe, to kiedy) równość może zajść jednocześnie dla \(\displaystyle{ k=0,1, \ldots 249}\)

Wsk: stawiając zamiast \(\displaystyle{ x}\) - \(\displaystyle{ -999-x}\) otrzymujemy to samo równanie