Nierówności z wartością bezwzględną

[Bartek2304]

Czy mógłby ktoś rozwiązać z wytłumaczeniem te dwie nierówności?
\(\displaystyle{ \left| 3x-15 \right|}\) \(\displaystyle{ <}\) \(\displaystyle{ 18}\)
\(\displaystyle{ \left| 6+x \right|}\) \(\displaystyle{ \ge}\) \(\displaystyle{ 8}\)

Jestem niestety zielony w tym temacie i potrzebuję pomocy przy nierównościach.

[xxDorianxx]

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=gM7eBgF3tBs

Odsyłam przykładowo tutaj

Pokaż jak liczysz a pomożemy

[Janusz Tracz]

Spróbuj zrobić rysunek i skorzystać z definicji \(\displaystyle{ \left| \cdot \right|}\)

\(\displaystyle{ \left| x\right|= \begin{cases} x\ \text{dla} \ x \ge 0 \\ -x\ \text{dla} \ x <0 \end{cases}}\)

[Dilectus]

Skoncentruj się na definicji wartości bezwzględnej podanej przez Janusza Tracza, i zacznij ją stosować. Zapiszmy ją nieco inaczej:

\(\displaystyle{ \left| \text{coś tam}\right|= \begin{cases} \text{coś tam}\quad \text{dla} \quad \text{coś tam} \ge 0 \\ - \text{(coś tam)}\quad \text{dla} \quad \text{coś tam} <0 \end{cases}}\)



-- 17 maja 2018, o 12:57 --

Zacznij więc tak:

\(\displaystyle{ \left| 3x-15 \right|<8 \Leftrightarrow \begin{cases} 3x-15<8 \quad \text{dla} \quad 3x-15 \ge 0 \quad \\ -(3x-15) <8 \quad \text{dla} \quad 3x-15 < 0 \end{cases}}\)

[Jan Kraszewski]

Zacznij więc tak:

\(\displaystyle{ \left| 3x-15 \right|<8{\red = }\begin{cases} 3x-15<8 \quad \text{dla} \quad 3x-15 \ge 0 \quad \\ -(3x-15) <8 \quad \text{dla} \quad 3x-15 < 0 \end{cases}}\)

Ta równość wygląda bardzo niedobrze. Nie wolno tej definicji stosować w ten sposób.

JK

[Bartek2304]

Czyli jak mam to zacząć? Skoro nie w ten sposób?

[bartek118]

\(\displaystyle{ |3x-15| < 18}\)

Ja bym zaczął od zrozumienia i intuicji - wtedy takie zadania nie będą sprawiały kłopotu. Co mówi nierówność typu
\(\displaystyle{ |y| < 18}\)

Mówi ona, że liczba \(\displaystyle{ y}\) na osi liczbowej znajduje się o mniej niż \(\displaystyle{ 18}\) jednostek od zera. No dobra - to co to za liczby? Dokładnie te, które spełniają
\(\displaystyle{ -18 < y < 18}\)
Jeśli liczba będzie większa lub równa niż 18, to jej odległość od zera na osi też. Tak samo, jeśli będzie mniejsza lub równa 18, to jej odległość od zera też będzie większa lub równa 18.

No to wróćmy do zadania - zamiast \(\displaystyle{ y}\) mamy \(\displaystyle{ 3x-15}\). Czyli
\(\displaystyle{ -18 < 3x - 15 < 18}\)
i teraz proste przekształcenia - dodajemy do nierówności obustronnie \(\displaystyle{ 15}\)
\(\displaystyle{ -18 + 15 < 3x < 18+15 \\
-3 < 3x < 33}\)
i dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ 3}\) otrzymując wynik
\(\displaystyle{ -1 < x < 11}\)
lub inaczej \(\displaystyle{ x \in (-1, 11)}\).

[Bartek2304]

Bardzo fajnie wytłumaczone, dziękuję

czyli drugi przykład wyglądał by tak:

\(\displaystyle{ \left| 6 + x \right| \ge 8}\)

\(\displaystyle{ -8 > 6 - x > 8}\)

\(\displaystyle{ -8 + 6 > -x > 8 + 6}\)

\(\displaystyle{ -2 > -x > 14}\)

\(\displaystyle{ 2 > x > -14}\)

\(\displaystyle{ x \in (-14,2)}\)

?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ -8 > 6 - x > 8}\)

Zamiast postarać się zrozumieć tę interpretację geometryczną, to przekopiowałeś nierówność zmieniając znaki, co dało na samym początku absurdalną nierówność \(\displaystyle{ -8>8}\).

Nierówność \(\displaystyle{ |y|\ge 8}\) oznacza, że \(\displaystyle{ y}\) znajduje się na osi liczbowej przynajmniej \(\displaystyle{ 8}\) jednostek od zera. Narysuj to sobie, zastanów się, co to znaczy...

JK

[Bartek2304]

No tak, czyli jeżeli to odwrócę to będzie już dobrze?
Bo teoretycznie wynik wychodzi taki sam, czyli to tylko błąd zapisu?

[bartek118]

No tak, czyli jeżeli to odwrócę to będzie już dobrze?
Bo teoretycznie wynik wychodzi taki sam, czyli to tylko błąd zapisu?

Wynik wychodzi taki sam tylko przypadkiem, bo pomyliłeś się w rachunkach (przy mnożeniu przez \(\displaystyle{ -1}\)). Zacznij od zrozumienia, co to znaczy geometrycznie, tak jak pisał Jan Kraszewski.

[Bartek2304]

Dobra już chyba rozumiem

załóżmy taki przykład: \(\displaystyle{ \left| x+1\right| > 9}\)

\(\displaystyle{ x+1 > 9 \vee -x-1>9 \\
x > 8}\)

\(\displaystyle{ -x>10 \\
x <-10}\)

\(\displaystyle{ x \in (- \infty , -10),(8, \infty +)}\)

[Jan Kraszewski]

Rozumujesz poprawnie, ale odpowiedź powinna wyglądać tak:

\(\displaystyle{ x \in (- \infty , -10)\,{\red \cup}\,(8, +\infty).}\)

JK

[Bartek2304]

A jak mam rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \left| x+2 \right| + 5x = 3}\)

U mnie wychodzi tylko jeden wynik, jest to \(\displaystyle{ x= \frac{1}{6}}\)

[Dilectus]

Zacznij więc tak:

\(\displaystyle{ \left| 3x-15 \right|<8{\red = }\begin{cases} 3x-15<8 \quad \text{dla} \quad 3x-15 \ge 0 \quad \\ -(3x-15) <8 \quad \text{dla} \quad 3x-15 < 0 \end{cases}}\)

Ta równość wygląda bardzo niedobrze. Nie wolno tej definicji stosować w ten sposób.

JK

Masz rację JK. Nie powinienem był pisać znaku równości, tylko znak równoważności. Już poprawiłem. Mea culpa.