Nierówności z wartością bezwzględną

[Janusz Tracz]

No widzisz, jakbyś odwołał się do definicji o jakiej pisałem to nie było by wątpliwości.

\(\displaystyle{ \left| x+2\right|= \begin{cases}x+2\ \ \ \text{dla}\ x+2 \ge 0 \\ -x-2\ \text{dla}\ x+2 < 0 \end{cases}}\)

Więc jeśli \(\displaystyle{ x \ge -2}\) to rozwiązujemy:

\(\displaystyle{ x+2+5x=3 \ \ \Leftrightarrow \ \ x= \frac{1}{6}}\)

oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \ge -2}\) więc jest to rozwianie.

Jeśli natomiast \(\displaystyle{ x<-2}\) to rozwiązujemy:

\(\displaystyle{ -x-2+5x=3 \ \ \Leftrightarrow \ \ x= \frac{5}{4}}\)

ale warunek \(\displaystyle{ \frac{5}{4}<-2}\) już nie jest spełniony, więc ostatecznie jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ x= \frac{1}{6}}\)

[Bartek2304]

Czyli dobrze rozwiązałem
Dziękuję, na razie nie mam więcej pytań - zobaczę jak jutro napiszę

[bartek118]

No widzisz, jakbyś odwołał się do definicji o jakiej pisałem to nie było by wątpliwości.

\(\displaystyle{ \left| x+2\right|= \begin{cases}x+2\ \ \ \text{dla}\ x+2 \ge 0 \\ -x-2\ \text{dla}\ x+2 < 0 \end{cases}}\)

Więc jeśli \(\displaystyle{ x \ge -2}\) to rozwiązujemy:

\(\displaystyle{ x+2+5x=3 \ \ \Leftrightarrow \ \ x= \frac{1}{6}}\)

oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \ge -2}\) więc jest to rozwianie.

Jeśli natomiast \(\displaystyle{ x<-2}\) to rozwiązujemy:

\(\displaystyle{ -x-2+5x=3 \ \ \Leftrightarrow \ \ x= \frac{5}{4}}\)

ale warunek \(\displaystyle{ \frac{5}{4}<-2}\) już nie jest spełniony, więc ostatecznie jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ x= \frac{1}{6}}\)

Można też posłużyć się geometryczną interpretacją.
\(\displaystyle{ |x+2| + 5x = 3 \\
|x+2| = 3 - 5x}\)
Skoro wartość bezwzględna to odległość, to musi zachodzić \(\displaystyle{ 3-5x \geq 0}\), czyli \(\displaystyle{ x \leq \frac{3}{5}}\).

Teraz - mamy równość postaci \(\displaystyle{ |y| = z}\), tj. odległość \(\displaystyle{ y}\) od zera na osi liczbowej wynosi \(\displaystyle{ z}\), są dokładnie dwie takie liczby: \(\displaystyle{ z}\) oraz \(\displaystyle{ -z}\). Czyli mamy dwa przypadki. W pierwszym
\(\displaystyle{ x+2 = 3 - 5x}\)
i kontynuując jak Janusz Tracz otrzymasz \(\displaystyle{ x = \frac{1}{6}}\) i oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \leq \frac{3}{5}}\).
W drugim
\(\displaystyle{ -x-2 = 3 - 5x \\
4x = 5 \\
x = \frac{5}{4}}\)
ale \(\displaystyle{ \frac{5}{4} \leq \frac{3}{5}}\) nie jest prawdą, więc to nie jest rozwiązanie.