\(\displaystyle{ |x|+x-2 \le 0}\)
\(\displaystyle{ 2|x-1|+x<4}\)
Mógłby ktoś zrobić wraz z pełnym wytłumaczeniem te dwa przykłady? Zupełnie się pogubiłem...
Dwie nierówności
-
DamianTancerz
- Użytkownik
- Posty: 71
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 11 razy
-
szw1710
Re: Dwie nierówności
Ad 1. Rozważasz dwa przypadki: jeśli \(\displaystyle{ x\ge 0}\), to \(\displaystyle{ |x|=x}\), więc mamy \(\displaystyle{ 2x-2\le 0,}\) a jeśli \(\displaystyle{ x<0}\), to \(\displaystyle{ |x|=-x}\) i mamy \(\displaystyle{ -2\le 0.}\) Wyciagnij wnioski co do rozwiązania "całej" nierówności odpowiednio te przypadki łącząc.
Ad 2. Rozwiązujemy identycznie.
Można też inaczej.
Ad 1. Mamy równoważnie \(\displaystyle{ |x|\le 2-x}\), więc nierówność nie ma sensu, gdy \(\displaystyle{ 2-x<0}\), czyli \(\displaystyle{ x>2.}\) Poza tym jest \(\displaystyle{ |x|\le 2-x\iff -2+x\le x\le 2-x}\), co daje nam \(\displaystyle{ x\le 1}\). Uwzględniając warunek \(\displaystyle{ x\le 2}\) mamy ostatecznie \(\displaystyle{ x\le 1.}\)
Ad 2. Rozwiązujemy identycznie.
Można też inaczej.
Ad 1. Mamy równoważnie \(\displaystyle{ |x|\le 2-x}\), więc nierówność nie ma sensu, gdy \(\displaystyle{ 2-x<0}\), czyli \(\displaystyle{ x>2.}\) Poza tym jest \(\displaystyle{ |x|\le 2-x\iff -2+x\le x\le 2-x}\), co daje nam \(\displaystyle{ x\le 1}\). Uwzględniając warunek \(\displaystyle{ x\le 2}\) mamy ostatecznie \(\displaystyle{ x\le 1.}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dwie nierówności
[ciach]
A żeby nie było, że spamuję, można również łatwo rozwiązać te zadania „graficznie".
Mianowicie przyda się obserwacja, że \(\displaystyle{ |x-y|}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in \RR}\) to odległość \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ y}\) na osi liczbowej (dla mnie to jest wręcz definicja, ale co kto lubi).
Zatem \(\displaystyle{ |x|+x-2\le 0 \Leftrightarrow |x|\le 2-x}\)
i jeśli \(\displaystyle{ x>2}\), to nierówność nie może być spełniona (lewa strona nieujemna, a prawa ujemna), zaś jeśli \(\displaystyle{ x\le 2}\), to nierówność można zapisać w postaci \(\displaystyle{ |x| \le |2-x|=|x-2|}\),
czyli odległość \(\displaystyle{ x}\) od zera ma być nie większa niż odległość \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ 2}\), stąd \(\displaystyle{ x\le 1}\). Ponieważ zaś gdy \(\displaystyle{ x\le 1}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ x\le 2}\), to rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ (-\infty, 1]}\).
Podobnie można kombinować w drugim zadaniu, tylko to wymaga trochę więcej sprytu (powiedzmy, na poziomie pierwszej klasy liceum):
\(\displaystyle{ 2|x-1|+x< 4 \Leftrightarrow 2|x-1| <4-x}\)
i jeśli \(\displaystyle{ x\ge 4}\), to lewa strona jest nieujemna, a prawa niedodatnia, więc nierówność nie może być spełniona.
Niech więc \(\displaystyle{ x<4}\). Wówczas mamy
\(\displaystyle{ 2|x-1| <4-x \Leftrightarrow 2|x-1|<|4-x| \Leftrightarrow 2|x-1|<|x-4|}\)
i to można rozwiązać w sposób trywialny, rysując sobie takie „paski".
Chodzi o to, ze dwukrotność odległości \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ 1}\) na osi liczbowej ma być ostro mniejsza niż odległość \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ 4}\) na osi liczbowej. Stąd (paski!) \(\displaystyle{ x<2}\), no i ponieważ takie iksy spełniają też automatycznie \(\displaystyle{ x< 4}\), to \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2)}\).
Oczywiście standardowe rozwiązanie polega na podzieleniu tego na przedziały i w poszczególnych przedziałach zdjęciu modułów z ew. zmianą znaku (najlepsze zdjęcia modułów są wykonane aparatami firmy Kodak xD) i warto znać taki sposób, ale serio kiedyś zasnąłem, rozwiązując zadania tą metodą. Obudziłem się dwie godziny później i myślałem, ze jest już nowy dzień.
A żeby nie było, że spamuję, można również łatwo rozwiązać te zadania „graficznie".
Mianowicie przyda się obserwacja, że \(\displaystyle{ |x-y|}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in \RR}\) to odległość \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ y}\) na osi liczbowej (dla mnie to jest wręcz definicja, ale co kto lubi).
Zatem \(\displaystyle{ |x|+x-2\le 0 \Leftrightarrow |x|\le 2-x}\)
i jeśli \(\displaystyle{ x>2}\), to nierówność nie może być spełniona (lewa strona nieujemna, a prawa ujemna), zaś jeśli \(\displaystyle{ x\le 2}\), to nierówność można zapisać w postaci \(\displaystyle{ |x| \le |2-x|=|x-2|}\),
czyli odległość \(\displaystyle{ x}\) od zera ma być nie większa niż odległość \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ 2}\), stąd \(\displaystyle{ x\le 1}\). Ponieważ zaś gdy \(\displaystyle{ x\le 1}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ x\le 2}\), to rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ (-\infty, 1]}\).
Podobnie można kombinować w drugim zadaniu, tylko to wymaga trochę więcej sprytu (powiedzmy, na poziomie pierwszej klasy liceum):
\(\displaystyle{ 2|x-1|+x< 4 \Leftrightarrow 2|x-1| <4-x}\)
i jeśli \(\displaystyle{ x\ge 4}\), to lewa strona jest nieujemna, a prawa niedodatnia, więc nierówność nie może być spełniona.
Niech więc \(\displaystyle{ x<4}\). Wówczas mamy
\(\displaystyle{ 2|x-1| <4-x \Leftrightarrow 2|x-1|<|4-x| \Leftrightarrow 2|x-1|<|x-4|}\)
i to można rozwiązać w sposób trywialny, rysując sobie takie „paski".
Chodzi o to, ze dwukrotność odległości \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ 1}\) na osi liczbowej ma być ostro mniejsza niż odległość \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ 4}\) na osi liczbowej. Stąd (paski!) \(\displaystyle{ x<2}\), no i ponieważ takie iksy spełniają też automatycznie \(\displaystyle{ x< 4}\), to \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 2)}\).
Oczywiście standardowe rozwiązanie polega na podzieleniu tego na przedziały i w poszczególnych przedziałach zdjęciu modułów z ew. zmianą znaku (najlepsze zdjęcia modułów są wykonane aparatami firmy Kodak xD) i warto znać taki sposób, ale serio kiedyś zasnąłem, rozwiązując zadania tą metodą. Obudziłem się dwie godziny później i myślałem, ze jest już nowy dzień.