Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie

Gadziu · Post autor: **Gadziu** » 17 lut 2018, o 17:09

Po prostu zgłupiałem...
Mam taką nierówność:
$\displaystyle{ |x-5|<x+5}$
Moje rozwiązanie różni się z prawidłowym, ale nie widzę błędu... Proszę o zweryfikowanie, gdzie jest błąd.
Dziedzina:
$\displaystyle{ x+5>0 \\ x>-5 \\ \hbox{D:} x \in (-5; \infty )}$
Rozpatrujemy dwa przypadki:
$\displaystyle{ \hbox{I: } x \in (- \infty ;5) \hbox{ oraz II: } x \in \left\langle 5; + \infty )}$

$\displaystyle{ \hbox{I: } x \in (- \infty ;5) \\ x-5>-x-5 \\ 2x > 0 \\ x > 0 \\ x \in (0;5)}$

$\displaystyle{ \hbox{II: } x \in \left\langle 5; + \infty \right) \\ x-5<x+5 \\ 0 < 10 \\ x \in \left\langle 5; + \infty )}$

No i teraz pomiędzy dwoma przypadkami mamy $\displaystyle{ \wedge}$, więc wynikiem jest $\displaystyle{ \emptyset}$, bo nie części wspólnej. Jest to ewidentny błąd, bo są liczby spełniające ten warunek...

Co jest nie tak?

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 17 lut 2018, o 17:20

Jak już rozpatrujesz na przypadki to rób to porządnie.
Pierwszy przypadek jest dla $\displaystyle{ x \in (-5, 5)}$
Dla tych iksów liczba pod modułem jest ujemna, więc opuszczamy ze zmianą znaku.

$\displaystyle{ 5-x<x+5 \\
x>0 \Rightarrow x \in (0,5)}$

Drugi przypadek $\displaystyle{ x \in \langle 5,+ \infty )}$

$\displaystyle{ x-5<x+5 \\
-10<0 \Rightarrow x \in \langle 5,+ \infty )}$

Rozwiązaniem nierówności będzie suma tych rozwiązań.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 17 lut 2018, o 20:42

Benny01 pisze:Jak już rozpatrujesz na przypadki to rób to porządnie.
Pierwszy przypadek jest dla $\displaystyle{ x \in (-5, 5)}$

Nie zrobiłeś tego porządnie (literówka).

Do autora - pomiędzy przypadkami masz sumę (nie iloczyn jak przyjąłeś) - reszta prawie ok.

Bo (może to też tylko literówka, albo coś psujesz ,,dziedziną") - zerowanie zawartości między kreskami jest dla (5).

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 17 lut 2018, o 20:45

Ja nie musiałem robić tego porządnie

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 17 lut 2018, o 21:18

Gadziu pisze: Dziedzina:
$\displaystyle{ x+5>0 \\ x>-5 \\ \hbox{D:} x \in (-5; \infty )}$

I oczywiście dziedzina źle wyznaczona, bo przecież wyrażenia po obydwu stronach nierówności mają sens dla dowolnej liczby rzeczywistej, czyli $\displaystyle{ x \in \RR}$.

Gadziu · Post autor: **Gadziu** » 18 lut 2018, o 13:56

piasek101, a czemu rozpatrujemy sumę, a nie iloczyn? Przecież w najprostszym przykładzie: $\displaystyle{ |x|<1}$ mamy $\displaystyle{ x>-1 \wedge x<1}$

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 18 lut 2018, o 14:02

No, ale przecież Ty tak nie robiłeś tylko ustalałeś znak modułu i go opuszczałeś.

Gadziu · Post autor: **Gadziu** » 18 lut 2018, o 15:31

No jak nie? Przecież raz prawą stroną pomnożyłem przez -1 i zmieniałem znak na przeciwny, a w drugim nie...
Czegoś tu nie widzę...

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 18 lut 2018, o 15:39

Łączysz ze sobą dwa sposoby. Zdecyduj się na jakiś.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 18 lut 2018, o 15:53

A najistotniejszy błąd znajduje się na początku rozumowania:

Gadziu pisze: $\displaystyle{ \hbox{I: } x \in (- \infty ;5) \hbox{ oraz II: } x \in \left\langle 5; + \infty )}$

nie "oraz", ale "lub".

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 18 lut 2018, o 16:53

Jeżeli w równaniu/nierówności występuje $\displaystyle{ x}$ w module i $\displaystyle{ x}$ poza modułem, to musisz podzielić dziedzinę na poddziedziny względem miejsca zerowego w module/modułach.
Poddziedzin jest o jedną więcej niż modułów.
W tym przypadku masz jeden moduł, czyli 2 poddziedziny.
$\displaystyle{ x}$ może należeć do jednej z nich, albo do drugiej.

merowing3 · Post autor: **merowing3** » 20 lut 2018, o 10:57

$\displaystyle{ |x-5|<x+5}$

$\displaystyle{ -(x+5)<x-5<+(x+5)}$

$\displaystyle{ -x-5<x-5<x+5}$

$\displaystyle{ -x<x<x+10}$

$\displaystyle{ 0<2x<2x+10}$

$\displaystyle{ 2x>0}$ i $\displaystyle{ 2x+10>2x}$

$\displaystyle{ x>0}$ i $\displaystyle{ 10>0}$

Zmienna $\displaystyle{ x}$ musi (warunek 1) być większa od zera i musi (warunek 2) być dowolną liczbą rzeczywistą. Z koniunkcji wynika ostatecznie, że rozwiązaniem nierówności jest przedział liczbowy:
$\displaystyle{ x>0}$, czyli $\displaystyle{ x \in (0;+ \infty )}$

Rozbitek · Post autor: **Rozbitek** » 20 lut 2018, o 11:12

merowing3, dla zera też nierówność zachodzi.

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 20 lut 2018, o 11:18

Rozbitek pisze:merowing3, dla zera też nierówność zachodzi.

Twierdzisz, że $\displaystyle{ 5 <5}$?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 20 lut 2018, o 11:43

A może tak
$\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[thin,->] (-8,0)--(8,0);
\draw[thin,->] (0,-1) -- (0,10);
\draw[green,thick] (-5,10)--(5,0)--(8,3) node[midway,sloped,below] {$|x-5|$};
\draw[red,thick] (-5,0)--(5,10) node[near end, sloped, below]{$x+5$};
\end{tikzpicture}}$

Matematyka.pl