Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
- Gadziu
- Użytkownik
- Posty: 653
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa\Radom
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 48 razy
Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
Po prostu zgłupiałem...
Mam taką nierówność:
\(\displaystyle{ |x-5|<x+5}\)
Moje rozwiązanie różni się z prawidłowym, ale nie widzę błędu... Proszę o zweryfikowanie, gdzie jest błąd.
Dziedzina:
\(\displaystyle{ x+5>0 \\ x>-5 \\ \hbox{D:} x \in (-5; \infty )}\)
Rozpatrujemy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ \hbox{I: } x \in (- \infty ;5) \hbox{ oraz II: } x \in \left\langle 5; + \infty )}\)
\(\displaystyle{ \hbox{I: } x \in (- \infty ;5) \\ x-5>-x-5 \\ 2x > 0 \\ x > 0 \\ x \in (0;5)}\)
\(\displaystyle{ \hbox{II: } x \in \left\langle 5; + \infty \right) \\ x-5<x+5 \\ 0 < 10 \\ x \in \left\langle 5; + \infty )}\)
No i teraz pomiędzy dwoma przypadkami mamy \(\displaystyle{ \wedge}\), więc wynikiem jest \(\displaystyle{ \emptyset}\), bo nie części wspólnej. Jest to ewidentny błąd, bo są liczby spełniające ten warunek...
Co jest nie tak?
Mam taką nierówność:
\(\displaystyle{ |x-5|<x+5}\)
Moje rozwiązanie różni się z prawidłowym, ale nie widzę błędu... Proszę o zweryfikowanie, gdzie jest błąd.
Dziedzina:
\(\displaystyle{ x+5>0 \\ x>-5 \\ \hbox{D:} x \in (-5; \infty )}\)
Rozpatrujemy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ \hbox{I: } x \in (- \infty ;5) \hbox{ oraz II: } x \in \left\langle 5; + \infty )}\)
\(\displaystyle{ \hbox{I: } x \in (- \infty ;5) \\ x-5>-x-5 \\ 2x > 0 \\ x > 0 \\ x \in (0;5)}\)
\(\displaystyle{ \hbox{II: } x \in \left\langle 5; + \infty \right) \\ x-5<x+5 \\ 0 < 10 \\ x \in \left\langle 5; + \infty )}\)
No i teraz pomiędzy dwoma przypadkami mamy \(\displaystyle{ \wedge}\), więc wynikiem jest \(\displaystyle{ \emptyset}\), bo nie części wspólnej. Jest to ewidentny błąd, bo są liczby spełniające ten warunek...
Co jest nie tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
Jak już rozpatrujesz na przypadki to rób to porządnie.
Pierwszy przypadek jest dla \(\displaystyle{ x \in (-5, 5)}\)
Dla tych iksów liczba pod modułem jest ujemna, więc opuszczamy ze zmianą znaku.
\(\displaystyle{ 5-x<x+5 \\
x>0 \Rightarrow x \in (0,5)}\)
Drugi przypadek \(\displaystyle{ x \in \langle 5,+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ x-5<x+5 \\
-10<0 \Rightarrow x \in \langle 5,+ \infty )}\)
Rozwiązaniem nierówności będzie suma tych rozwiązań.
Pierwszy przypadek jest dla \(\displaystyle{ x \in (-5, 5)}\)
Dla tych iksów liczba pod modułem jest ujemna, więc opuszczamy ze zmianą znaku.
\(\displaystyle{ 5-x<x+5 \\
x>0 \Rightarrow x \in (0,5)}\)
Drugi przypadek \(\displaystyle{ x \in \langle 5,+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ x-5<x+5 \\
-10<0 \Rightarrow x \in \langle 5,+ \infty )}\)
Rozwiązaniem nierówności będzie suma tych rozwiązań.
Ostatnio zmieniony 17 lut 2018, o 22:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle.
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
Nie zrobiłeś tego porządnie (literówka).Benny01 pisze:Jak już rozpatrujesz na przypadki to rób to porządnie.
Pierwszy przypadek jest dla \(\displaystyle{ x \in (-5, 5)}\)
Do autora - pomiędzy przypadkami masz sumę (nie iloczyn jak przyjąłeś) - reszta prawie ok.
Bo (może to też tylko literówka, albo coś psujesz ,,dziedziną") - zerowanie zawartości między kreskami jest dla (5).
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
I oczywiście dziedzina źle wyznaczona, bo przecież wyrażenia po obydwu stronach nierówności mają sens dla dowolnej liczby rzeczywistej, czyli \(\displaystyle{ x \in \RR}\).Gadziu pisze: Dziedzina:
\(\displaystyle{ x+5>0 \\ x>-5 \\ \hbox{D:} x \in (-5; \infty )}\)
- Gadziu
- Użytkownik
- Posty: 653
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa\Radom
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 48 razy
Re: Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
piasek101, a czemu rozpatrujemy sumę, a nie iloczyn? Przecież w najprostszym przykładzie: \(\displaystyle{ |x|<1}\) mamy \(\displaystyle{ x>-1 \wedge x<1}\)
- Gadziu
- Użytkownik
- Posty: 653
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa\Radom
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 48 razy
Re: Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
No jak nie? Przecież raz prawą stroną pomnożyłem przez -1 i zmieniałem znak na przeciwny, a w drugim nie...
Czegoś tu nie widzę...
Czegoś tu nie widzę...
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
A najistotniejszy błąd znajduje się na początku rozumowania:
nie "oraz", ale "lub".Gadziu pisze: \(\displaystyle{ \hbox{I: } x \in (- \infty ;5) \hbox{ oraz II: } x \in \left\langle 5; + \infty )}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Re: Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
Jeżeli w równaniu/nierówności występuje \(\displaystyle{ x}\) w module i \(\displaystyle{ x}\) poza modułem, to musisz podzielić dziedzinę na poddziedziny względem miejsca zerowego w module/modułach.
Poddziedzin jest o jedną więcej niż modułów.
W tym przypadku masz jeden moduł, czyli 2 poddziedziny.
\(\displaystyle{ x}\) może należeć do jednej z nich, albo do drugiej.
Poddziedzin jest o jedną więcej niż modułów.
W tym przypadku masz jeden moduł, czyli 2 poddziedziny.
\(\displaystyle{ x}\) może należeć do jednej z nich, albo do drugiej.
- merowing3
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 9 sty 2011, o 16:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 9 razy
Re: Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
\(\displaystyle{ |x-5|<x+5}\)
\(\displaystyle{ -(x+5)<x-5<+(x+5)}\)
\(\displaystyle{ -x-5<x-5<x+5}\)
\(\displaystyle{ -x<x<x+10}\)
\(\displaystyle{ 0<2x<2x+10}\)
\(\displaystyle{ 2x>0}\) i \(\displaystyle{ 2x+10>2x}\)
\(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ 10>0}\)
Zmienna \(\displaystyle{ x}\) musi (warunek 1) być większa od zera i musi (warunek 2) być dowolną liczbą rzeczywistą. Z koniunkcji wynika ostatecznie, że rozwiązaniem nierówności jest przedział liczbowy:
\(\displaystyle{ x>0}\), czyli \(\displaystyle{ x \in (0;+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ -(x+5)<x-5<+(x+5)}\)
\(\displaystyle{ -x-5<x-5<x+5}\)
\(\displaystyle{ -x<x<x+10}\)
\(\displaystyle{ 0<2x<2x+10}\)
\(\displaystyle{ 2x>0}\) i \(\displaystyle{ 2x+10>2x}\)
\(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ 10>0}\)
Zmienna \(\displaystyle{ x}\) musi (warunek 1) być większa od zera i musi (warunek 2) być dowolną liczbą rzeczywistą. Z koniunkcji wynika ostatecznie, że rozwiązaniem nierówności jest przedział liczbowy:
\(\displaystyle{ x>0}\), czyli \(\displaystyle{ x \in (0;+ \infty )}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
Twierdzisz, że \(\displaystyle{ 5 <5}\)?Rozbitek pisze:merowing3, dla zera też nierówność zachodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Nierówność z wartością bezwzględną - sprawdzenie
A może tak
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[thin,->] (-8,0)--(8,0);
\draw[thin,->] (0,-1) -- (0,10);
\draw[green,thick] (-5,10)--(5,0)--(8,3) node[midway,sloped,below] {$|x-5|$};
\draw[red,thick] (-5,0)--(5,10) node[near end, sloped, below]{$x+5$};
\end{tikzpicture}}\)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[thin,->] (-8,0)--(8,0);
\draw[thin,->] (0,-1) -- (0,10);
\draw[green,thick] (-5,10)--(5,0)--(8,3) node[midway,sloped,below] {$|x-5|$};
\draw[red,thick] (-5,0)--(5,10) node[near end, sloped, below]{$x+5$};
\end{tikzpicture}}\)