Dowody z wartości bezwzg.

[mich12]

Witajcie, nie mam pomysłu na te zadania, proszę o pomoc...

1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y, z}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left| x\right| +\left| y\right| +\left| z\right| \le \left| x+y-z\right| +\left| x-y+z\right| +\left| -x+y+z\right|}\)
2. Udowodnij, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają nierówność: \(\displaystyle{ \left| a+b\right| \le \left| c\right|, \left| b+c\right| \le \left| a\right|, \left| c+a\right| \le \left| b\right|}\) to \(\displaystyle{ a + b + c = 0}\)
3. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y,z}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (x\left| y\right| - y\left| x\right| )(y\left| z\right| -z\left| y\right| )(x\left| z\right| -z\left| x\right| ) = 0}\)

[Premislav]

Pewnie można gdzieś tu przywalić z nierówności Popoviciu.

1. Zauważ, że na mocy nierówności trójkąta mamy:
\(\displaystyle{ 2|x|\le |x+y-z|+|x-y+z|\\ 2|y|\le |x+y-z|+|-x+y+z|\\2|z|\le |x-y+z|+|-x+y+z|}\)
Dodaj stronami, podziel przez \(\displaystyle{ 2}\) i do widzenia.

[a4karo]

3) wsk:
\(\displaystyle{ x|y|-y|x|=|xy|\left(\frac{x}{|x|}-\frac{y}{|y|}\right)}\)

[Zahion]

2.
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} a^{2} \ge \sum_{}^{} \left( a+b\right)^{2} \Rightarrow 0 \ge \sum_{}^{} \left( a^{2}\right) + 2 \sum_{}^{} ab = \left( \sum_{}^{} a\right)^{2} \Rightarrow \sum_{}^{} a = 0}\)

[mich12]

Pierwsze rozumiem, ale np. w 3. zrobiłem tak z każdym nawiasem ale nie wiem co ma mi to dać. Natomiast w 2. skąd to się wszystko wzięło?

[Premislav]

Co do drugiego: podnosisz nierówności z założenia stronami do kwadratu, tj. z \(\displaystyle{ |c|\ge |a+b|}\) masz \(\displaystyle{ c^2\ge(a+b)^2}\) itd. bo obie strony nierówności są nieujemne (dlatego możesz podnieść do kwadratu). Dodajesz otrzymane nierówności stronami i masz
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2\ge (b+c)^2+(c+a)^2+(a+b)^2}\)
Po rozpisaniu tych składników \(\displaystyle{ (a+b)^2}\) itd. ze wzoru na kwadrat sumy i skróceniu z lewą stroną dostajesz
\(\displaystyle{ 0\ge a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0\ge (a+b+c)^2}\)


Co do trzeciego: uwaga jeszcze na zera, ale jeśli któraś z \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest zerem, to teza jest oczywista. Dla niezerowych \(\displaystyle{ x,y,z}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{x}{|x|} - \frac{y}{|y|}=\mathrm{sgn}(x)-\mathrm{sgn}(y)}\) i tak dalej. Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ x,y,z}\) są różne od zera to, co najmniej dwie z nich są tego samego znaku (dodatnie lub ujemne). Po prostu mamy tylko dwie możliwości (dodatnia albo ujemna), skoro wykluczamy zera, a liczby są trzy (to trywialny przypadek zasady szufladkowej Dirichleta).
Wówczas np. jeśli \(\displaystyle{ x,y}\) są tego samego znaku, to oczywiście \(\displaystyle{ \mathrm{sgn}(x)-\mathrm{sgn}(y)=0}\)