Opuszczenie wartości bezwzględnej

[Bierp]

Polecenie brzmi: Wiadomo, że \(\displaystyle{ a>0}\), \(\displaystyle{ b<0}\) i \(\displaystyle{ c \in R}\). Jeżeli to możliwe, zapisz poniższe wyrażenie bez wartości bezwzględnej. Wyrażenie:\(\displaystyle{ \left| (a+b)^{2} - 4ab\right|}\). Wg. mnie skoro w założeniu jest mowa o ujemności wyrażenia \(\displaystyle{ b}\) to należy zmienić znak w przykładzie wszędzie tam gdzie znajduje się to wyrażenie na przeciwny, po czym otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left| (a-b)^{2} + 4ab \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| a^{2}-2ab+ b^{2}+4ab \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| a^{2}+2ab+ b^{2}\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| (a+b)^{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\)
Z racji tego że wewnątrz wartości bezwzględnej mamy same plusy to możemy ją opuścić. Takie jest moje rozumowianie.
Jednak odpowiedź do tego zadania jest inna, a dokładnie po opuszczeniu wartości bezwzględnej jej zawartość powinna wyglądać następująco \(\displaystyle{ (a-b)^{2}}\). Pytanie brzmi dlaczego? Gdzie popełniłem błąd?

[a4karo]

Weź sobie np \(\displaystyle{ a=2,\ b=1-}\) i prześledź swoje rozumowanie.

[Bierp]

Zakładam, że \(\displaystyle{ a=2, b=-1}\)
\(\displaystyle{ \left| (2+\left( -1\right) )^{2}-4 \cdot 2 \cdot \left( -1\right) \right|= \left| 1^{2}+4 \cdot 2 \cdot 1\right| =\left| 9\right|=9}\)
Ten sposób rozwiązania sugeruje, że mógłbym opuścić wartość bezwzględną pozostawiając:\(\displaystyle{ (a+b)^{2}-4ab}\) Jednak odpowiedź jest inna w dodatku nie ma w niej \(\displaystyle{ -4ab}\), które usuwam stosując wzór skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ \left| (2+\left( -1\right) )^{2}-4 \cdot 2 \cdot \left( -1\right)\right|=\left| 4-2 \cdot 2 \cdot 1+1 +4 \cdot 2 \cdot 1 \right|=\left| 4+2 \cdot 2 \cdot 1+1\right| =\left| 9\right| =9}\)
To oznacza, że \(\displaystyle{ \left| 4+2 \cdot 2 \cdot 1+1\right|}\) to nic innego jak \(\displaystyle{ a^{2}+2ab+ b^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \left| (a+b)^{2} \right|}\). Wartość bezwzględną w tym przypadku mogę opuścić, ponieważ jak wcześniej obliczyłem wartość jej wnętrza jest dodatnia. Otrzymuję \(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\), czyli dokładnie taką odpowiedź jak otrzymałem wcześniej. Jest ona błędna gdyż odpowiedź w książce jest inna. Proszę wskazać błąd w moim rozumowaniu.

[a4karo]

Zauważ, że przy założeniu \(\displaystyle{ a<0<b}\) ona składniki są dodatnie, więc możesz opuścić wartość bezwzględną (ale nie wolno zmieniać znaku przy iloczynie).

Reszta jest wynikiem zastosowania wzorów skróconego mnożenia.

Nie jest prawdą, że to wyrażenie jest równe \(\displaystyle{ a^2 +2ab+b^2}\), o czym łatwo się przekonasz obniżając jego wartość.

[Bierp]

Rozumiem, że chodzi Panu o takie rozwiązanie: \(\displaystyle{ \left| (a+b)^{2} -4ab \right|= a^{2} +2ab+ b^{2} -4ab= a^{2} -2ab+ b^{2}= \left( a-b\right) ^{2}}\). Tylko teraz nasuwa się pytanie: dlaczego mam zostawić wszystkie wyrażenia zawierające \(\displaystyle{ b}\) z początkowym znakiem, mimo iż mamy założenie, że \(\displaystyle{ b<0}\)? Biorąc pod uwagę ww. założenie początek zadania powinien kształtować się następująco \(\displaystyle{ \left| (a-b)^{2} + 4ab \right|}\). Wynik końcowy jest już uzależniony od tegoż podstawienia i stąd różnica w odpowiedziach jak mniemam.

[a4karo]

Bo \(\displaystyle{ (a+b)^2>0}\) a \(\displaystyle{ ab<0}\). Zatem \(\displaystyle{ -4ab>0}\). Stad wniosek, że \(\displaystyle{ (a+b)^2-4ab>0}\) a w taki razie wartość bezwzględna tej liczby jest właśnie jej równa.

Na pytanie: dlaczego masz zostawić wyrażenia z poczatkowym znakiem, odpowiedź brzmi: bo nie ma nic co by uzasadniało zmiane znaku.

Jeżli masz \(\displaystyle{ b}\) złotych, to niezależnie od tego, czy \(\displaystyle{ b}\) jest ujemne czy dodatnie masz \(\displaystyle{ b}\) złotych. Jeżeli \(\displaystyle{ b>0}\), to po prostu masz \(\displaystyle{ b}\) złotych, a jeżeli \(\displaystyle{ b}\) jest ujemne, to masz \(\displaystyle{ b}\) złotych, czyli \(\displaystyle{ |b|=-b}\) DŁUGU