Nierówność z dwiema wartościami bezwględnymi

[Mati2000xcx]

Witam, mam problem z rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle{ \left| x+3\right|-\left| 2-x\right|> 2x-1}\)
Normalnie nie mam problemu z rozwiązywaniem tego typu zadań i na koniec liczę część wspólną ze wszystkich rozwiązań, natomiast tu wychodzi mi, że część wspólna nie istnieje a rozwiązaniem jest suma tych przedziałów ;/ Proszę o pomoc.

[Jan Kraszewski]

Pokaż rachunki.

JK

[Mati2000xcx]

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = x +3\\
g \left( x \right) = 2-x\\
mzf = -3\\
mzg = 2}\)

1.
\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ,-3 \right) \\
-x-3-2+x > 2x -1\\
-5 > 2x -1\\
-4 > 2x\\
x < -2 \Rightarrow x \in \left( - \infty ,-3 \right)}\)

2.
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -3,2 \right\rangle\\
x+3-2+x>2x-1\\
1>-1\\
x \in \left\langle -3,2 \right\rangle}\)

3.
\(\displaystyle{ x \in \left( 2,+ \infty \right) \\
x+3+2-x > 2x-1\\
5 > 2x-1\\
x <3\\
x \in \left( 2,3 \right)}\)

Więc wynik powinien być iloczynem tych przedziałów ale są rozłączne. Zamiast tego w odpowiedziach wynik to suma tych przedziałów co już kompletnie wprowadza mnie w zakłopotanie ;d Jeśli mam błędne rozumowanie to proszę mnie poprawić i wyjaśnić.

[Jan Kraszewski]

Więc wynik powinien być iloczynem tych przedziałów

A skąd to zupełnie błędne przekonanie? Przecież to są rozłączne przypadki, więc oczywiście je sumujesz (bo masz \(\displaystyle{ x\in \left( - \infty ,-3 \right)}\) LUB \(\displaystyle{ x\in\left\langle -3,2 \right\rangle}\) LUB \(\displaystyle{ x\in \left( 2,+ \infty \right)}\) - skoro LUB, to potem sumujesz). Część wspólną bierzesz rozpatrując poszczególne przypadki:

W 1 masz \(\displaystyle{ \left( - \infty ,-3 \right)\cap \left( - \infty ,-2 \right)}\).
W 2 masz \(\displaystyle{ \left\langle -3,2 \right\rangle\cap\RR}\).
W 3 masz \(\displaystyle{ \left( 2,+ \infty \right)\cap \left( - \infty ,-3 \right)}\).

JK

[Mati2000xcx]

Faktycznie się pomyliłem, no nic. Czyli mam rozumieć, że w tego typu nierównościach znak nierówności nie ma wpływu na to czy liczymy iloczyn czy sumę tak jak w przypadku prostych nierówności z wartością bezwzględną np takich jak: \(\displaystyle{ \left| x+2\right| \ge 4}\)

[Jan Kraszewski]

Nie ucz się rozwiązywania zadań przez bezmyślne schematy, bo to tak się właśnie kończy.

W przypadku prostych nierówności, jak się chwilę zastanowisz, to też nie ma wpływu.

JK

[Mati2000xcx]

Prawda, teraz to się wydaje o wiele prostsze