Kłopot ze zrozumieniem schematu równań wartości bezwzględnej

[123qwerty123]

Witam

Słowo wstępu. Jestem uczniem który w tym roku będzie przystępował do matury, wybrałem sobie jako przedmiot rozszerzony matematykę. Jako tako dobrze sobie radziłem w matematyce - generalnie dobre oceny. Przyszedł nowy rok szkolny i powtórka materiały z lat poprzednich a ja zrozumiałem że nic nie rozumiem, przez okres wakacji zapomniałem dużo schematów, jak się "pyka" zadania - wiadomo o co chodzi. Naszła mnie autorefleksja i postanowiłem sobie przyswoić materiał z klas poprzednich ponownie lecz tym razem ze zrozumieniem.

Aktualnie mój kłopot dotyczy wartości bezwzględnej.

\(\displaystyle{ \left| x-6 \right| = 2}\)
Takie równanie rozwiązuje mniej więcej takim (nieodkrywczym) rozumowaniem.
Dane jest równanie \(\displaystyle{ x-6}\) którego rozwiązanie wynosi r.
Zmienna r ma nieznaną wartość ale zapis: \(\displaystyle{ \left| x-6 \right| = 2}\) informuje mnie że różnica między nią a zerem wynosi 2, to znaczy że r jest o 2 mniejsze lub o 2 większe od zera.
Co daje nam dwie możliwości
\(\displaystyle{ x-6 = 0+ (-2)}\) LUB \(\displaystyle{ x-6 = 0+2}\)
Co daję \(\displaystyle{ x = 4}\) LUB \(\displaystyle{ x = 8}\)

Aczkolwiek gubię się przy innych, bardziej skomplikowanych równaniach - przy nich moje myślenie nie za bardzo się sprawdza.
Dlatego nasunęły mi się m.in takie pytania.
1) Dlaczego gdy szacujemy wartość między znakami \(\displaystyle{ \left| \right|}\) i będzie ona ujemna to zmieniamy znaki. Na moją logikę nawet jak wyjdzie na coś nie dodatniego to wartość bezwzględna i tak "usunie" znak "-"

2) Skąd wziął się sposób rozwiązywania równań i nierówności sposobem z przedziałami. Jak rozwiązywano równania z wartością bezwzględną gdy nie był znany ten sposób.

3) Było pewne równanie z wartością które rozwiązałem, wynik wyszedł dobry ale nauczyciel matematyki stwierdził że nie zrobiłem tego z użyciem przedziałów więc jest źle.
Oto równanie:
\(\displaystyle{ 2\left|x+57 \right| = \left| x-39 \right| \\
2\left|x+57 \right| - \left| x-39 \right| = 0 \\
2\left|x+57 \right| -x+39 = 0 /:2 \\
\left|x+57 \right| -\frac{x}{2} + \frac{39}{2} = 0 \\
\left|x+57 \right| = \frac{x}{2} - \frac{39}{2}}\)
Przypadek A
\(\displaystyle{ x+57= -\frac{x}{2} + \frac{39}{2} / \cdot 2 \\
2x+114= -x + 39 \\
3x= -75 / \cdot \frac{1}{3} \\
x= -25}\)
Przypadek B
\(\displaystyle{ x+57= \frac{x}{2} - \frac{39}{2}/ \cdot 2 \\
2x+114= x - 39 \\
2x+114= x - 39 \\
x = -153}\)

Moje pytanie teraz jest takie:
Czy ten sposób rozwiązywania równań jest błędny? Wynik wydaje się być w porządku aczkolwiek trochę podejrzane dla mnie jest że są dwie wartości bezwzględne i tylko 2 rozwiązania a z tych tylko jedno poprawne. Czy nie powinno być ich więcej?

[Premislav]

3. Nauczyciel matematyki się myli.
Dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ |a|=|b| \Leftrightarrow a=b \vee a=-b}\), więc jak najbardziej można zrobić jak napisałeś.
Natomiast podejście z przedziałami ma tę przewagę, że łatwo się przenosi na rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną.
Wartość \(\displaystyle{ |a-b|}\) można rozumieć jako odległość \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ b}\) na osi liczbowej.
A zatem rozwiązania równania
\(\displaystyle{ 2\left|x+57 \right| = \left| x-39 \right|}\)
to są takie liczby, których odległość na osi liczbowej od \(\displaystyle{ 39}\) jest równa podwojonej ich odległości na osi liczbowej od \(\displaystyle{ -57}\).
Wówczas oczywiste jest, że rozwiązania są dwa: jedno to liczba na odcinku \(\displaystyle{ [-57,39]}\), która jest dwa razy dalej od \(\displaystyle{ 39}\) niż od \(\displaystyle{ -57}\), a drugie to liczba, która jest mniejsza od \(\displaystyle{ -57}\) o tę odległość na osi liczbowej między \(\displaystyle{ -57}\) a \(\displaystyle{ 39}\), czyli o \(\displaystyle{ 96}\).

[Jan Kraszewski]

3. Nauczyciel matematyki się myli.
Dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ |a|=|b| \Leftrightarrow a=b \vee a=-b}\),

Pełna zgoda, ale to rozwiązanie zawiera jednak podejrzany fragment:

\(\displaystyle{ 2\left|x+57 \right| - \left| x-39 \right| = 0 \\
2\left|x+57 \right| -x+39 = 0 /:2}\)

Formalnie to przejście nie jest poprawne, bo \(\displaystyle{ |a|=|b|}\) nie jest równoważne \(\displaystyle{ |a|=b}\). Później jest to kompensowane, ale tak naprawdę powinniśmy od razu opuścić od razu oba moduły (czyli usunąć linijki 2-5 w tym rozwiązaniu), żeby było poprawnie.

JK

[a4karo]

Będę bronił nauczyciela:
JK zwrócił uwagę na nieuzasadnione opuszczenia wartości bezwzględnej i to jest oczywiście błąd.
Po drugie, rozwiązujący co prawda dostał dwa rozwiązania, ale nie sprawdził, czy znajdują się one w tych przedziałach, które uzasadniaja takie a nie inne potraktowanie wartości bezwzględnej.

I faktycznie, pierwiastek \(\displaystyle{ x=-27}\) wyszedł w przypadku A, kiedy autor założył, że \(\displaystyle{ |x+57|=-(x+57)}\), a więc nie spełnia założeń. To samo jest w przypadku B

[Premislav]

a4karo, w sumie nie do końca się przyjrzałem rozwiązaniu autora wątku, słusznie, zawiera ono poważne usterki. Przepraszam za to przeoczenie. Ale skoro chodziło o obronę nauczyciela, to sprawa przegrana, bo przypomnę, że

nauczyciel matematyki stwierdził że nie zrobiłem tego z użyciem przedziałów więc jest źle.

co jest błędnym stwierdzeniem (chociażby wyżej pokazałem jak zrobić to zadanie bez żadnego rozbijania na przedziały).

[a4karo]

Otóż nauczyciel w swej mądrości (nie waham się użyć tego sformułowania) uprzejmie wskazał metodę rozwiązywania równań z wartością bezwzględną, która działa w każdym przypadku.
Twoja metoda jest fajna na kółku matematycznym, ale spróbuj jej użyć do rozwiązania np \(\displaystyle{ |x|-|x^2-9|+2|2x-1|=341}\)

I nie do końca wierzę, że nauczyciel tak sformułował swoją uwagę.

[Premislav]

Co do tego, że podejście z przedziałami ma szerszy zakres stosowalności, to się zgadzam, sam o tym wszak wspomniałem. W kwestii wiary/niewiary się nie wypowiem (ja w każdym razie jestem ateistą, co za znakomita gra słów).
Dobrze jest uczyć możliwie ogólnych metod, niedobrze jest wmawiać, że gdy coś jest inaczej zrobione, to z automatu jest źle.

[a4karo]

Co do tego, że podejście z przedziałami ma szerszy zakres stosowalności, to się zgadzam, sam o tym wszak wspomniałem. W kwestii wiary/niewiary się nie wypowiem (ja w każdym razie jestem ateistą, co za znakomita gra słów).
Dobrze jest uczyć możliwie ogólnych metod, niedobrze jest wmawiać, że gdy coś jest inaczej zrobione, to z automatu jest źle.

Stwierdziłeś, że nauczyciel się myli. Ale nie wiesz, co nauczyciel powiedział. Znasz sprawę tylko z relacji "poszkodowanego"

Być może powiedział coś takiego:
Wynik jest dobry, ale rozwiązanie jest błędne. Gdybyś zastosował przedziały, otrzymałbyś prawidłowy wynik.

A to jak to stwierdzenie zinterpretował i tu przedstawił 123qwerty123 to zupełnie inna sprawa.

Adaś Miauczyński też przeczytał w scenariuszu "oczom jego ukazał się las..."

[123qwerty123]

Witajcie

Dziękuje wam za odzew.
Moje stwierdzenie "Było pewne równanie z wartością które rozwiązałem, wynik wyszedł dobry ale nauczyciel matematyki stwierdził że nie zrobiłem tego z użyciem przedziałów więc jest źle." jest jak się okazuje karygodnym uproszczaniem. Nie tak wyraził się mój nauczyciel, nie sądziłem że to istotne, przepraszam że wprowadziłem w błąd.
Istotnie nauczyciel mówił o uniwersalności metody z przedziałami, samego zadania mu nie pokazałem gdyż wole żeby mnie lubił i uważał że coś umiem (choć tak naprawdę jestem wyuczony schematów rozwiązywania zadań, nad czym ubolewam i co chce zmienić - myślę że bardziej mi to pomoże w przygotowaniu do matury nić tłuc zadania i myśleć że się uczę czegoś w ten sposób).

Rozwiązanie równania które przedstawiłem to moje bazgroły ale w tym przypadku wynik wyszedł dobry więc chciałem je przedstawić abyście ocenili. Też mi się wydawało że za łatwo pozbyłem się tej jednej wartości bezwzględnej - niestety nie stała za tym większa logika

Czy możecie mi podać inny niż ten z przedziałami sposób rozwiązywania równań np tego które umieściłem w pierwszym poście? Chciałbym się z nim zapoznać aby sam ocenić co dla mnie lepsze.

Czy możecie się ustosunkować do mojego pytania a mianowicie
1) Dlaczego gdy szacujemy wartość między znakami \(\displaystyle{ \left| \right|}\) i będzie ona ujemna to zmieniamy znaki. Na moją logikę nawet jak wyjdzie na coś nie dodatniego to wartość bezwzględna i tak "usunie" znak "-"

[a4karo]

Witajcie



Rozwiązanie równania które przedstawiłem to moje bazgroły ale w tym przypadku wynik wyszedł dobry więc chciałem je przedstawić abyście ocenili. Też mi się wydawało że za łatwo pozbyłem się tej jednej wartości bezwzględnej - niestety nie stała za tym większa logika

\(\displaystyle{ 3+4+5=9+5=12}\)
Jak widzisz wynik wyszedł dobry

Czy możecie mi podać inny niż ten z przedziałami sposób rozwiązywania równań np tego które umieściłem w pierwszym poście? Chciałbym się z nim zapoznać aby sam ocenić co dla mnie lepsze.

Znasz jedną, dobrą, uniwersalną metodę. Opanuj ją i nie szukaj innych, bo te znajdują zastosowanie jedynie w szczególnych przypadkach:

np rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ |x|+|x-1|=5}\) są punkty przecięcia pewnej elipsy z osią \(\displaystyle{ OX}\)

Czy możecie się ustosunkować do mojego pytania a mianowicie
1) Dlaczego gdy szacujemy wartość między znakami \(\displaystyle{ \left| \right|}\) i będzie ona ujemna to zmieniamy znaki. Na moją logikę nawet jak wyjdzie na coś nie dodatniego to wartość bezwzględna i tak "usunie" znak "-"

Nie umiemy sprawnie rozwiązywać równań, w których występuje symbol wartości bezwzględnej. Dlatego staramy sie go pozbyć. Ale w tym celu musimy rozpatrywać osobno przedziały,w których możemy ją po prostu opuścić oraz te, w których możemy to zrobić ale dopiero po zmianie znaku.

[Jan Kraszewski]

Na moją logikę nawet jak wyjdzie na coś niedodatniego to wartość bezwzględna i tak "usunie" znak "-"

Mógłbyś to sprecyzować?

JK

[Rozbitek]

1) Przepraszam, ale nie do końca rozumiem o co pytasz.
2) Znawcą nie jestem, ale sądzę, że z definicji, jak wszystko.
3) Na temat tego rozwiązania wypowiedziano się wyżej. Jak dla mnie jeżeli uczeń przedstawi poprawne rozumowanie i dojdzie do poprawnego wyniku i jest wstanie wszystko uzasadnić, to może zrobić jakkolwiek mu się podoba. Ja przedstawię Ci teraz przykład rozwiązania tego przykładu z definicji:

Mamy przykład:
\(\displaystyle{ 2\left| x+57\right| = \left| x-39\right|}\)
A więc dwu krotność \(\displaystyle{ \left| x + 57 \right|}\) jest równa \(\displaystyle{ \begin{cases} x-39, &\mbox{dla }(x+57) \ge 0 \\ -(x-39), &\mbox{dla } (x+57) < 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2(x+57) = x-39 \\
2x + 114 = x-39 \\
x = -153}\)

\(\displaystyle{ 2(x+57) = 39-x \\
2x + 114 = 39-x \\
x = -25}\)

Z jednym zastrzeżeniem: Uznałem wartość bezwzględna równa się wartości wartości bezwzględnej lub wartości przeciwnej do wartości wartości bezwzględnej.
Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej:
\(\displaystyle{ \left| x\right| = \left| y\right| \Leftrightarrow x = \begin{cases} \left| y\right|, &\mbox{dla }x \ge 0 \\ - \left| y\right|, &\mbox{dla } x<0 \end{cases}}\)

[a4karo]

3) Na temat tego rozwiązania wypowiedziano się wyżej. Jak dla mnie jeżeli uczeń przedstawi poprawne rozumowanie i dojdzie do poprawnego wyniku i jest wstanie wszystko uzasadnić, to może zrobić jakkolwiek mu się podoba. Ja przedstawię Ci teraz przykład rozwiązania tego przykładu z definicji:

Mamy przykład:
\(\displaystyle{ 2\left| x+57\right| = \left| x-39\right|}\)
A więc dwu krotność \(\displaystyle{ \left| x + 57 \right|}\) jest równa \(\displaystyle{ \begin{cases} x-39, dla (x+57) \ge 0 \\ -(x-39), dla (x+57) < 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2(x+57) = x-39}\)
\(\displaystyle{ 2x + 114 = x-39}\)
\(\displaystyle{ x = -153}\)

\(\displaystyle{ 2(x+57) = 39-x}\)
\(\displaystyle{ 2x + 114 = 39-x}\)
\(\displaystyle{ x = -25}\)

Z jednym zastrzeżeniem: Uznałem wartość bezwzględna równa się wartości wartości bezwzględnej lub wartości przeciwnej do wartości wartości bezwzględnej.
Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej:
\(\displaystyle{ \left| x\right| = \left| y\right| \Leftrightarrow x = \begin{cases} \left| y\right|, dla x \ge 0 \\ - \left| y\right|, dla x<0 \end{cases}}\)

Wynik niby poprawny, ale, podobnie jak u autora wątku nie sprawdziłeś, czy rozwiązania mieszczą się w dopuszczalnych przedziałach. A sie nie mieszczą: Dla \(\displaystyle{ x=-153}\) nie zachodzi \(\displaystyle{ x+57\geq 0}\), a dla \(\displaystyle{ x=-25}\) nie zachodzi \(\displaystyle{ x+57\leq 0}\)

Nie wolno robić tak, że w jedną wartość bezwzględna opuszczamy, a manipulujemy tylko drugą.

Najlepiej to widać na obrazku:
Mamy znależć punkty przecięcia niebieskiej i czerwonej krzywej
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=.2]
\draw[->] (-5,0)--(5,0);
\draw[->] (0,-5)--(0,12);
\draw[blue] (-6,8)--(-2,0)--(4,12) node[right] {$2|x+57|$};
\draw[red] (-7,8)--(1,0)--(5,4) node[right] {$|x-39|$};
\end{tikzpicture}}\)

Tymczasem ty znajdujesz punkty przecięcia krzywej niebieskiej i zielonej:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=.2]
\draw[->] (-5,0)--(5,0);
\draw[->] (0,-5)--(0,12);
\draw[blue] (-6,8)--(-2,0)--(4,12) node[right] {$2|x+57|$};
\draw[green] (-4,-5)--(1,0)--(5,4) node[right] {$x-39$};
\end{tikzpicture}}\)
a takich punktów nie ma.

Udałoby Ci się, gdybyś napisał równanie w postaci \(\displaystyle{ 2|x+57|=|39-x|}\) i zastosował swoją "metodę", bo wtedy byś znalazł punktu przeciecia takich krzywych

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=.2]
\draw[->] (-5,0)--(5,0);
\draw[->] (0,-5)--(0,12);
\draw[blue] (-6,8)--(-2,0)--(4,12) node[right] {$2|x+57|$};
\draw[magenta] (-7,8)--(1,0)--(4,-3) node[right] {$39-x$};
\end{tikzpicture}}\)

Niestety, "metoda", która daje poprawny wynik w połowie przypadków nie może być poprawna.

wniosek: tak czy owak sprawa sprowadza się do rozpatrzenia czterech przypadków (czy też przedziałów - jak kto woli) Inna sprawa, że przedziałów w tym przypadku są trzy, a przypadków 4. Ale dlaczego tak jest wyjaśni 123qwerty123

@Premislaw - muszę pogratulować zamieszania, jakie wywołałeś swoim postem

[Rozbitek]

Masz rację, będą cztery przypadki. Parami będą miały identyczny wynik. Pozwoliłem więc sobie ich wszystkich niepisać. Wiesz czemu poza przedziałami nadal działa? (A działa, podstaw sobie i sprawdź). Bo mamy też wartość bezwzględną po prawej stronie i nie znamy znaku. Rozpatrujemy cztery przypadki dwa będą identyczne, jest spoko.

Nie mam jednak pojęcia dlaczego sądzisz, że nie można opuścić jednej wartości bezwzględnej, a drugą manipulować, bo przecież uzasadniłem dlaczego tak robię. Nie wydaje się to być poprawne, ale jest.

\(\displaystyle{ |x| = |y|}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x = y}\), więc jeśli moduł z \(\displaystyle{ x = x}\) lub \(\displaystyle{ -x}\), to moduł z \(\displaystyle{ x}\) w tym przypadku równy jest również \(\displaystyle{ y}\) lub \(\displaystyle{ -y}\).
Opuściłem moduł i rozpatrzyłem oba przypadki. Sądzę, że jest OK

[a4karo]

No to weżmy takie równanie:

\(\displaystyle{ |1-x|+2|x-3|=-1}\)

Ono w dość oczywisty sposób nie ma rozwiązań. według Ciebie można rozwiązywać tylko równanie
\(\displaystyle{ 1-x+2|x-3|=-1}\)

No to jedziemy: dla \(\displaystyle{ x\geq 3}\) mamy
\(\displaystyle{ 1-x+2x-6=-1 \Leftrightarrow x=4}\) (spełnia warunek \(\displaystyle{ x>3}\), więc jest rozwiązaniem)

drugi przypadek: \(\displaystyle{ x<3}\)
\(\displaystyle{ 1-x-2x+6=-1 \Leftrightarrow -3x=-8 \Leftrightarrow x=8/3}\) (też spełnia warunek \(\displaystyle{ x<3}\)

I tak "dzięki" tej "metodzie" mamy dwa rozwiązania.

Zauważ, że nie mówię o odpowiedziach, ale o METODZIE.


Jeśli to Cie nie przekonuje (bo łatwo sprawdzić, że te liczby nie spełniają równania, to popatrz na takie coś:
\(\displaystyle{ 2-|x|=|x|}\)
To ma oczywiście dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x=\pm 1}\), ale próba ograniczenia sie do rozwiązania równania
\(\displaystyle{ 2-|x|=x}\) daje tylko jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x=1}\)