Cześć, potrzebuję wykazać następujące własności wartości bezwzględnej, jednak po przerwie wakacyjnej mam dziurę w głowie.
\(\displaystyle{ \left| x-y\right| ^{n} \le \left| x ^{n}-y ^{n} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| \sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y} \right| \le \sqrt[n]{\left| x-y\right| }}\)
x,y - liczby rzeczywiste większe od zera
n - naturalne
Z góry dziękuję za pomoc
Wykazać następujące własności wartości bezwzględnej
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykazać następujące własności wartości bezwzględnej
Zauważ, że \(\displaystyle{ x\ge y \Leftrightarrow x^n\ge y^n}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\) oraz \(\displaystyle{ x,y>0}\) i nierówność z tezy jest symetryczna ze względu na \(\displaystyle{ x,y}\), bo \(\displaystyle{ |x-y|=|y-x|}\) itd. a zatem bez zmniejszenia ogólności można rozważyć \(\displaystyle{ x\ge y}\). Wtedy masz pokazać, że
\(\displaystyle{ x^n-y^n\ge (x-y)^n}\)
Podziel teraz tę nierówność stronami przez \(\displaystyle{ x^n}\) - można, bo \(\displaystyle{ x>0}\). Dostaniesz:
\(\displaystyle{ 1-\left( \frac y x\right)^n\ge \left( 1-\frac y x\right)^n}\)
Kluczowy fakt: jeśli \(\displaystyle{ a \in [0,1]}\) i \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), to \(\displaystyle{ a\ge a^n}\).
Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac y x \in (0,1]}\), zatem także \(\displaystyle{ 1-frac y x in [0,1)}\), więc
\(\displaystyle{ 1-\left( \frac y x\right)^n \ge 1-\frac y x \ge \left( 1-\frac y x\right)^n}\)
co kończy dowód.-- 5 paź 2017, o 00:17 --Drugie: podnieś tę nierówność stronami do potęgi \(\displaystyle{ n}\) i skorzystaj z poprzedniego podpunktu, wstawiając \(\displaystyle{ x:=\sqrt[n]{x}, \ y:=\sqrt[n]{y}}\).
\(\displaystyle{ x^n-y^n\ge (x-y)^n}\)
Podziel teraz tę nierówność stronami przez \(\displaystyle{ x^n}\) - można, bo \(\displaystyle{ x>0}\). Dostaniesz:
\(\displaystyle{ 1-\left( \frac y x\right)^n\ge \left( 1-\frac y x\right)^n}\)
Kluczowy fakt: jeśli \(\displaystyle{ a \in [0,1]}\) i \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), to \(\displaystyle{ a\ge a^n}\).
Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac y x \in (0,1]}\), zatem także \(\displaystyle{ 1-frac y x in [0,1)}\), więc
\(\displaystyle{ 1-\left( \frac y x\right)^n \ge 1-\frac y x \ge \left( 1-\frac y x\right)^n}\)
co kończy dowód.-- 5 paź 2017, o 00:17 --Drugie: podnieś tę nierówność stronami do potęgi \(\displaystyle{ n}\) i skorzystaj z poprzedniego podpunktu, wstawiając \(\displaystyle{ x:=\sqrt[n]{x}, \ y:=\sqrt[n]{y}}\).