Infimum i supremum

[karolcia_23]

Witam, nie wiem czy wybrałam dobry dział na ten temat, ale mam problem odnośnie następującego zadania:

\(\displaystyle{ u(x,y)=|x-y|= \begin{cases} x-y \quad x>y \\ y-x \quad x<y \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x,y \in [0,1]}\)
Mam policzyć
\(\displaystyle{ \inf_{y}\sup_{x}u(x,y)}\)

Z notatek mam, że ma być to równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a mi wychodzi \(\displaystyle{ 0}\).
Czy ktoś wyjaśni dlaczego ma być \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)?

[yorgin]

Rozważmy przypadki:

\(\displaystyle{ 1)\qquad y=\frac{1}{2}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \sup_{x}|x-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2)\qquad y>\frac{1}{2}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \sup_{x}|x-y|=y}\) (dlaczego?)

\(\displaystyle{ 3) \qquad y<\frac{1}{2}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \sup_{x}|x-y|=1-y}\) (dlaczego?)

Teraz już łatwo widać, że szukane infium to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

[a4karo]

Ustal \(\displaystyle{ y}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ \max_{0\leq x\leq y} |x-y|}\) ?

[karolcia_23]

Rozważmy przypadki:

\(\displaystyle{ 1)\qquad y=\frac{1}{2}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \sup_{x}|x-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2)\qquad y>\frac{1}{2}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \sup_{x}|x-y|=y}\) (dlaczego?)

\(\displaystyle{ 3) \qquad y<\frac{1}{2}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \sup_{x}|x-y|=1-y}\) (dlaczego?)

Teraz już łatwo widać, że szukane infium to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

A dlaczego bierzemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a nie krańce przedziału?

[yorgin]

karolcia_23, nie rozumiem pytania.

[karolcia_23]

dlaczego przypadki rozpatrujemy z \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}}\) itd. a nie wstawiamy \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) czyli końce przedziału

[yorgin]

Dlatego, że końce przedziałów zawarte są w pozostałych dwóch wariantach.

A dlaczego akurat takie przypadki? Dlatego, że takie przyszły mi do głowy. I dlatego, że w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) zmienia się istotnie formuła na supremum, wyrażona jako funkcja od \(\displaystyle{ y}\).

[karolcia_23]

czyli mogę też tak rozumieć, że w którym punkcie te dwie funkcję się przecinają?

[yorgin]

W tym momencie zgaduję, co masz na myśli...

Tak, chodzi o punkt ich przecięcia.

[karolcia_23]

A czy ktoś pomoże jeszcze z tym zadaniem, który wpisałam w innym temacie? 422215.htm