Równanie z wartością bezezględną

[wolder]

Cześć, mam do rozwiązanie następujące równanie
\(\displaystyle{ |x^9-x^8|+|x^8-x^7|=|x^9-x^8+x^7-x|}\)

Prawa strona po podzieleniu przez \(\displaystyle{ x-1}\) wygląda następująco
\(\displaystyle{ |(x-1)(x^8+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)|}\)

Z lewej strony mamy
\(\displaystyle{ |x(x^8-1)|+|x^7(x-1)|=|x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)|+|x^7(x-1)|}\)

Zostaje nam więc
\(\displaystyle{ |x-1|\cdot|x(x+1)(x^2+1)(x^4+1)|+|x-1|\cdot|x^7|=|x-1|\cdot|x^8+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x|}\)
\(\displaystyle{ |x|\cdot|x-1|\cdot|(x+1)(x^2+1)(x^4+1)|+|x|\cdot|x-1|\cdot|x^6|=|x|\cdot|x-1|\cdot|x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1+1|}\)
\(\displaystyle{ |(x+1)(x^2+1)(x^4+1)|+|x^6|=|x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1+1|}\)


Tutaj stanąłem i nie mam pojęcia co dalej z tym zrobić.
Czy zadanie można rozwiązać w ten sposób, czy da się jakoś inaczej?
Chciałem zadanie rozwiązać na przedziały, ale z równania po prawej stronie wychodzą pierwiastki \(\displaystyle{ -0,854;0;1}\)

[Satansoldier]

Należy zauważyć, że oba wyrażenia po prawej muszą być jednego znaku, więc na mocy nierówności trójkąta, zadana równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistych.

[Jan Kraszewski]

Należy zauważyć, że oba wyrażenia po prawej muszą być jednego znaku, więc na mocy nierówności trójkąta, zadana równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistych.

Coś Ci się pomieszało.

Podstaw np. \(\displaystyle{ x=-1}\).

JK

[piasek101]

Może tak - do końca nie robiłem - wyłączyć \(\displaystyle{ |x|}\) po obu stronach, sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) jest spełnione, dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) podzielić stronami przez \(\displaystyle{ |x|}\), podstawić \(\displaystyle{ x^6=t}\)

[edit] Zrobiłem - ładnie idzie.

[edit1] Specjalnie jeszcze raz tu zajrzałem.
To nie działa - tylko ja wiem jakiego babola strzeliłem.

Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ |x|}\), potem można zrobić ten sam numer z \(\displaystyle{ |x-1|}\), ale dalej mamy jakiś wielomian (dla mnie o tej porze nieciekawy).

[Cytryn]

Problem sprowadza się do rozwiązania \(\displaystyle{ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + 2 x^7=0}\), co bez komputera nie jest możliwe.

[kerajs]

A ile rozwiązań będzie miało to równanie?

Cztery:    

1) x nieujemne:

a)
zał: \(\displaystyle{ x \ge 1}\)
\(\displaystyle{ x^9-x^8+x^8-x^7=x^9-x^8+x^7-x\\
x^8-2x^7+x=0\\
x(x-1)(x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1)=0\\
x=1 \vee x^6=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}\)
Prawe równanie w liczbach dodatnich będzie miało tylko jedno rozwiązanie (z monotoniczności i wklęsłości). Będzie ono odrobinę mniejsze od 2. (bo 64>63)

b)
zał: \(\displaystyle{ 0 \le x < 1}\)
\(\displaystyle{ -(x^9-x^8)-(x^8-x^7)=-(x^9-x^8+x^7-x)\\
x(x-1)(x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1)=0\\
x=0}\)


2) Dla ujemnych x mam:
\(\displaystyle{ -x^9+x^8+x^8-x^7=\left|x(x^8-x^7+x^6-1) \right|}\)
Równanie: \(\displaystyle{ x^8-x^7+x^6=1}\) ma tylko jedno ujemne rozwiązanie (z monotoniczności lewej strony w ujemnych) i nazwę je k.

a)
zał: \(\displaystyle{ k \le x<0}\)
\(\displaystyle{ -x^9+x^8+x^8-x^7=x^9-x^8+x^7-x\\
x(2x^8-3x^7+2x^6-1)=0\\
2x^8-3x^7+2x^6-1=0}\)
sprawdzam lewą stronę dla \(\displaystyle{ x=k}\):
\(\displaystyle{ L=k^8-k^7+k^6-1+k^8-2k^7+k^6=0+k^8-2k^7+k^6>0}\)
Równanie \(\displaystyle{ 2x^8-3x^7+2x^6=1}\) ma tylko jedno ujemne rozwiązanie (z monotoniczności lewej strony w ujemnych) większe od k, więc i należące do założenia.
Będzie ono nieznacznie mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{-3}{4}}\), bo \(\displaystyle{ ( \frac{3}{4} )^6( \frac{9}{8}+ \frac{9}{4}+2) \approx 0,9566}\)

b) \(\displaystyle{ x<k}\)
\(\displaystyle{ -x^9+x^8+x^8-x^7=-x^9+x^8-x^7+x\\
x(x^7-1)=0}\)
a to równanie nie ma rozwiązań w liczbach ujemnych.