Uprość wyrażenie

[Bierp]

Mamy podane takie wyrażenia:a)\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2} }+x}\) moim zdaniem dalej można to zapisać tak:\(\displaystyle{ \left| x\right| +x = x+x=2x}\) jednak odpowiedź do tego przykładu to \(\displaystyle{ 0}\) przykład b) \(\displaystyle{ \sqrt{(x-3)} ^{2} - \sqrt{ x^{2} }=\left| x-3\right| -\left| x\right| = x-3-x = -3}\) jednak odpowiedź do tego przykładu to \(\displaystyle{ 3}\). Gdzie popełniam błąd?

[MrCommando]

W zadaniu musiały być jakieś dodatkowe założenia. Nie zawsze prawdą jest, że \(\displaystyle{ |x|=x}\). Definicja wartości bezwzględnej to \(\displaystyle{ |x|=\left\{\begin{array}{l} x, ~ x \ge 0 \\ -x, ~ x<0 \end{array}}\).

Z tej definicji wynika, że wyrażenie \(\displaystyle{ |x|+x}\) jest równe \(\displaystyle{ 2x}\), gdy \(\displaystyle{ x \ge 0}\), a równe jest \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\). Drugi przykład analogicznie.

[Bierp]

Faktycznie w zadaniu jest podane założenie \(\displaystyle{ x<0}\) i to całkowicie zmienia postać rzeczy. Rozważmy jednak inne założenie a mianowicie \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i spróbujmy rozwiązać przykład b) chodzi mi głównie o \(\displaystyle{ \left| x - 3\right|}\) . Zgodnie z założeniem podstawiam za \(\displaystyle{ x}\) jedynkę ,wtedy wartość bezwzględna wychodzi ujemna, później za \(\displaystyle{ x}\) podstawiam \(\displaystyle{ 4}\) wtedy wychodzi dodatnia. Czy to oznacza, że muszę tutaj rozważyć 2 przypadki dla \(\displaystyle{ x \ge 3}\) oraz dla \(\displaystyle{ x<3}\) ?

[MrCommando]

Zgadza się. Nie możesz opuścić wartości bezwzględnej, jeśli nie znasz znaku wyrażenia. Toteż w przypadku \(\displaystyle{ |x-3|}\) musisz wziąć pod uwagę, czy \(\displaystyle{ x \ge 3}\) czy też \(\displaystyle{ x<3}\).

Najlepiej zastosować po prostu podaną przez mnie definicję. Wówczas mamy:

\(\displaystyle{ |x-3|= \begin{cases} x-3, ~ x \ge 3 \\ 3-x, ~ x <3\end{cases}}\)

Z tego wynika, że równość \(\displaystyle{ |x-3|-|x|=3}\) zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x \le 0}\).

[annastach]

Będę musiała odświeżyć swoją wiedzę. Z góry dziękuje za pomoc.