Przekształcanie wartości bezwzględnej

[michal111]

Witam, jak rozwiązać poniższy przykład?

\(\displaystyle{ |x^{3} -4x| = |x|}\)

Można przekształcić do \(\displaystyle{ |x^{3} -4x| - |x| =0}\) ?

Co się dzieje jeśli x wyjdą \(\displaystyle{ x=0, x=2, x=-2, x=0}\) ?

Normanie rozwiązywać dla 4 przedziałów?

\(\displaystyle{ 1. (- \infty ;-2)}\)
\(\displaystyle{ 2.\left\langle 2; 0)}\)
\(\displaystyle{ 3. \left\langle 0 ; 2)}\)
\(\displaystyle{ 4. \left\langle 2 ; \infty )}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left| x\right| \left| x^2-4\right| =\left| x\right| \\
\left| x\right| \left( \left| x^2-4\right|-1 \right) =0\\
\left| x\right|=0 \vee \left| x^2-4\right|=1\\
x=0 \vee x= -\sqrt{5} \vee x= \sqrt{5} \vee x= -\sqrt{3} \vee x= \sqrt{3}}\)-- 19 sty 2017, o 18:50 --

Można przekształcić do \(\displaystyle{ |x^{3} -4x| - |x| =0}\) ?

Można.

Co się dzieje jeśli x wyjdą \(\displaystyle{ x=0, x=2, x=-2, x=0}\) ?

Dostaje się tylko część punktów za rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0}\)

Normanie rozwiązywać dla 4 przedziałów?

\(\displaystyle{ 1. (- \infty ;-2)}\)
\(\displaystyle{ 2.\left\langle 2; 0)}\)
\(\displaystyle{ 3. \left\langle 0 ; 2)}\)
\(\displaystyle{ 4. \left\langle 2 ; \infty )}\)

Tak

[michal111]

dobrze,będą inne przykłady i nie będę mógł przekształcić tak jak Ty. chodzi mi o to co napisałem, bo nie rozumiem do końca czy dobrze to rozpisuje.

-- 19 sty 2017, o 18:52 --

ok, sprawdzę jeszcze raz

-- 19 sty 2017, o 18:53 --

Czyli jak jest \(\displaystyle{ x=0}\) dwa razy to coś się dzieje?

-- 19 sty 2017, o 19:17 --

Najbardziej interesuje mnie przedział 3, gdzie jest \(\displaystyle{ \left\langle 0;2)}\)

i coś mi tu nie pasuje

[piasek101]

Dobrze kombinowałeś (co już Ci napisano) - możesz rozwiązywać przedziałami.

Podałeś x-sy zerujące zawartości modułów, a poprzednik uznał to za rozwiązania - stąd zamęt.

[macikiw2]

Proponuję drogę okrężną lecz bardziej łopatologiczną. Przedziały są zbędne w tym zadaniu.

\(\displaystyle{ x=\left| x ^{3} - 4x \right| \vee x=-\left| x ^{3} + 4x\right|}\)


\(\displaystyle{ \left( x=x ^{3} - 4x \right \vee x=-x ^{3} +4x ) \vee \left( x=-x ^{3} +4x \right \vee x=x ^{3} -4x \right)}\)

Powtarzają się więc:

\(\displaystyle{ x ^{3}-4x-x=0 \vee -x ^{3}+4x-x=0}\)

\(\displaystyle{ x ^{3} - 5x=0 \vee -x ^{3}+3x=0}\)

\(\displaystyle{ x\left( x ^{2} -5\right)=0 \vee x\left(- x ^{2} +3\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x=0 \vee x=- \sqrt{5 } \vee x= \sqrt{5} \vee x= \sqrt{3} \vee x= -\sqrt{3}}\)

[michal111]

nadal nie rozumiem co z tymi zerami i czemu 3 przedział jest źle zapisany ( dla 0 wyjdzie inaczej i dla np. 1 inaczej jak podstawimy)

[macikiw2]

Jeśli z obliczeń wychodzą ci dwie takie same wartości to zwyczajnie traktujesz to jako jedno rozwiązanie.

Nie wiem jaki masz problem z przedziałami, wyznaczyłeś punkty gdzie wartości bezwględne się zerują, zapisałeś poprawnie przedziały, więc teraz popatrz co się dzieje gdy podstawiasz wartości z tych przedziałów, czy wychodzą liczby na minusie - jeśli tak to opuszczasz wart.bezwzględną ze zmianą znaku, a jeżeli na plusie to bez zmiany znaku i rozwiązujesz proste równanie. Powtarzając czynność dla każdego przedziału. Nie wstawiaj z przedziału punktów gdzie wartości bezwględne się zerują np. \(\displaystyle{ 0}\) czy \(\displaystyle{ 2}\) bo to bez sensu, liczy się to co jest za tymi miejscami lub przed nimi do określonego punktu przedziałowego.

[michal111]

przedział 3 \(\displaystyle{ \left\langle 0;2)}\)

można podstawić powiedzmy \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) żeby sprawdzić

dajmy \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ 0^{3}-4 \cdot 0 = 0}\) czyli zostawiamy wartość bez zmian? podstawiając \(\displaystyle{ 0}\) pod \(\displaystyle{ |x|}\) też zostawiamy czyli jest
\(\displaystyle{ x^{3}-4x-x=0}\)

a jak podstawimy np. \(\displaystyle{ 1}\) (też z tego przedziału)

\(\displaystyle{ 1^{3} -4 \cdot 3}\) wyjdzie wartość ujemna czyli zmieniamy znaki i wychodzi wtedy

\(\displaystyle{ -x^{3}+4x -x=0}\)

[ciach]

Najbardziej mnie ciekawi "uwaga! Liczbę 0 dołączamy do ostatniego przypadku, ponieważ dla tej liczby oba moduły są nieujemne."

[piasek101]

Wykasuj te książki. (zaraz coś Ci napiszę)

Domykanie przedziałów powinniśmy robić tak aby domknięcie ,,było przy przedziale gdzie zawartość między kreskami była dodatnia".

Ale wcale tego nie musimy tak robić - a w tym zadaniu tak się nie uda (gdy robimy Twoją metodą), bo zawartości modułów zmieniają swój znak jedna w zerze jedna w dwójce i nie da się domknięciem ,,ich pogodzić" .
Końcowego wyniku nie zmienia to gdzie domkniesz. Możesz zrobić obie wersje to się przekonasz.

Zatem masz cztery przedziały (w drugim Twoim literówka) - domknięcia mogą być takie jak napisałeś.

[michal111]

obie wersje jakie? jaka moja literówka? czyli co z tym zerem, bo jakbym nie sprawdził dla 0 i 1 to byłbym pewien że jest dobrze. Kiedy na takie rzeczy uważać? Kiedy one występują?

[piasek101]

Normanie rozwiązywać dla 4 przedziałów?
\(\displaystyle{ 1. (- \infty ;-2)}\)
\(\displaystyle{ 2.\left\langle 2; 0)}\)
\(\displaystyle{ 3. \left\langle 0 ; 2)}\)
\(\displaystyle{ 4. \left\langle 2 ; \infty )}\)

Literówka w drugim przedziale - widzisz ?

Obie wersje :
pierwsza
\(\displaystyle{ 2.\left\langle 2; 0)}\)
\(\displaystyle{ 3. \left\langle 0 ; 2)}\)

druga
\(\displaystyle{ 2.\left\langle 2; 0\rangle}\)
\(\displaystyle{ 3. ( 0 ; 2)}\)

Nie ma znaczenia gdzie dołączysz zero - rozwiąż i sprawdź.

Sprawdzać zera i jedynki nie musiałeś - było dobrze. Przecież

Domykanie przedziałów powinniśmy robić tak aby domknięcie ,,było przy przedziale gdzie zawartość między kreskami była dodatnia".

Ale wcale tego nie musimy tak robić ...

[michal111]

przecież wszystkie wartości w przedziale powinny dawać taki sam wynik, mylę się?

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/4jTK/

wykresy \(\displaystyle{ x^3-4x}\) i \(\displaystyle{ x}\)

to może by to zrobić tak: widać że coś tam z zerem przecina 2 razy i nie wiem o co z tym chodzi, to może zrobić 5 przedziałów, takie same + 5 przedział dać \(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ 1. \left( - \infty ;-2 \right) \\
2.\left\langle -2; 0 \right) \\
3. \left( 0 ; 2 \right) \\
4. \left\langle 2 ; \infty \right) \\
5. x=0}\)

Naprawdę mnie to męczy, nie wiem jak to przekazać... w książce są 4 przedziały gdzie 4 przedział to \(\displaystyle{ 4. \left\langle 2 ; \infty \right) \cup 0}\)

Czy to powyżej może być tak rozwiązane na 5 przedziałów? Dla mnie to jest najbardziej zrozumiałem i najbezpieczniejsze

[Jan Kraszewski]

w książce są 4 przedziały gdzie 4 przedział to \(\displaystyle{ 4. \left\langle 2 ; \infty \right) \cup 0}\)

Jak już, to \(\displaystyle{ 4. \left\langle 2 ; \infty \right) \cup \{ 0\}}\).

To jakaś dziwna książka...

Czy to powyżej może być tak rozwiązane na 5 przedziałów? Dla mnie to jest najbardziej zrozumiałem i najbezpieczniejsze

Ale PO CO?

Masz cztery przedziały:

\(\displaystyle{ \left( - \infty ;-2 \right) \\ \left\langle -2; 0 \right) \\ \left\langle 0 ; 2 \right) \\ \left\langle 2 ; \infty \right)}\)

i już! Końce tych przedziałów możesz sobie DOWOLNIE zamieniać, np.

\(\displaystyle{ \left( - \infty ;-2 \right\rangle \\ ( -2; 0 \rangle \\ ( 0 ; 2 \rangle \\ ( 2 ; \infty )}\)

to nie ma ŻADNEGO wpływu na rozwiązanie.

JK

[piasek101]

Jeśli nauczyciel narzuci (a nie powinien) sposób z Twojego podręcznika, to rób tak :
1) ustal x-sy zerujące zawartości modułów
2) sprawdź czy równanie jest spełnione dla znalezionych w (1)
3) rozwiąż używając wszystkich przedziałów otwartych (bo końce sprawdzone)
4) do wyniku weź sumę (2) i (3).