Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) równanie \(\displaystyle{ \left| x^{2}-6x+8 \right|+\left| x^{2}-6x+5 \right|=p}\) ma co najmniej trzy pierwiastki rzeczywiste.
Z góry dziękuję za pomoc
Równanie z wartością bezwzględną i parametrem
-
RCCK
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 3 lut 2015, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
Równanie z wartością bezwzględną i parametrem
\(\displaystyle{ \left| x^{2}-6x+8 \right| + \left| x^{2}-6x+5\right| = \left| (x-2)(x-4)\right| + \left| (x-1)(x-5)\right|=p}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ p>0}\) bo wartości bezwzględne i na dodatek nie mają wspólnych miejsc zerowych.
Wszystkie miejsca zerowe to \(\displaystyle{ 1, 2, 4, 5}\) więc badasz jak się zachowuje to wyrażenie na przedziałach \(\displaystyle{ (- \infty ,1), \langle 1,2), \langle 2,4), \langle 4,5), \langle 5,+ \infty)}\). Rysujesz odpowiednie fragmenty wykresów różnych funkcji, które wyjdą w zależności od tego czy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne czy nieujemne. Potem po prostu sprawdzasz na jakiej wysokości na wykresie prosta równoległa do osi \(\displaystyle{ OX}\) przecina ten narysowany wykres w co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) miejscach.
Przykład
Dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,1)}\) wyrażenie przyjmuje postać \(\displaystyle{ 2x^{2}-12x+13}\), rysujesz sobie tę funkcję powiedzmy od zera czy tam minus jeden do jedynki, potem kolejną od jedynki do dwójki aż do końca i wyjdzie taki krzywy wykres. Jeżeli chodzi o te przedziały z nieskończonością to rysujesz od/do momentu aż to ma sens, tzn. kiedy przetnie się właśnie te \(\displaystyle{ 3}\) lub więcej razy. Mam nadzieje, że za bardzo nie zagmatwałem Chciałem dać wskazówki bo to zawsze lepsze niż suche rozwiązanie
Oczywiście \(\displaystyle{ p>0}\) bo wartości bezwzględne i na dodatek nie mają wspólnych miejsc zerowych.
Wszystkie miejsca zerowe to \(\displaystyle{ 1, 2, 4, 5}\) więc badasz jak się zachowuje to wyrażenie na przedziałach \(\displaystyle{ (- \infty ,1), \langle 1,2), \langle 2,4), \langle 4,5), \langle 5,+ \infty)}\). Rysujesz odpowiednie fragmenty wykresów różnych funkcji, które wyjdą w zależności od tego czy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne czy nieujemne. Potem po prostu sprawdzasz na jakiej wysokości na wykresie prosta równoległa do osi \(\displaystyle{ OX}\) przecina ten narysowany wykres w co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) miejscach.
Przykład
Dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,1)}\) wyrażenie przyjmuje postać \(\displaystyle{ 2x^{2}-12x+13}\), rysujesz sobie tę funkcję powiedzmy od zera czy tam minus jeden do jedynki, potem kolejną od jedynki do dwójki aż do końca i wyjdzie taki krzywy wykres. Jeżeli chodzi o te przedziały z nieskończonością to rysujesz od/do momentu aż to ma sens, tzn. kiedy przetnie się właśnie te \(\displaystyle{ 3}\) lub więcej razy. Mam nadzieje, że za bardzo nie zagmatwałem Chciałem dać wskazówki bo to zawsze lepsze niż suche rozwiązanie
Ostatnio zmieniony 16 sty 2017, o 23:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle.