Własności wartości bezwzględnej.

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: qwerty355 »

Witam, mam problem z zadaniem: "Wykaż, że wyrażenie przyjmuje stale tę samą wartość dla podanych wartości \(\displaystyle{ x}\)".
\(\displaystyle{ \sqrt {x^{2} + 6x + 9} + |-x| - |-2x - 6|}\) dla \(\displaystyle{ x\le -3}\)

Zacząłem robić to w taki sposób:
\(\displaystyle{ \sqrt {x^{2} + 6x + 9} + |-x| - |-2x - 6| = |x+3| + |-x| - |-2x - 6|=\\ = - (x+3) + x - (-2x -6) = -x - 3 + x + 2x + 6 = 2x + 3}\)

Może ktoś mi wytłumaczyć gdzie robię błąd?
Ostatnio zmieniony 10 sty 2017, o 19:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: Jan Kraszewski »

qwerty355 pisze:\(\displaystyle{ |x+3| + |-x| - |-2x - 6| = \red-\black (x+3) + x - (-2x -6) =}\)
A ten minus to skąd?

JK
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: qwerty355 »

Podałem zły warunek, już wyedytowane. Teraz minus przed nawiasem dlatego, że wyrażenie spod wartości bezwzględnej jest ujemne dla \(\displaystyle{ x \le -3}\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: Jan Kraszewski »

qwerty355 pisze:\(\displaystyle{ |x+3| + |-x| - |-2x - 6| = - (x+3) \red+\black x - (-2x -6)}\)
Ten plus to skąd?

JK
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: qwerty355 »

Odwrotnie niż w poprzednim przypadku - wyrażenie pod wartością bezwzględną będzie dodatnie, jeśli np. za x podstawimy \(\displaystyle{ -5}\), to otrzymamy \(\displaystyle{ - (-5)}\), więc nie tworzymy liczby przeciwnej - dlatego plus. Dobrze myślę?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: Jan Kraszewski »

Źle.

Skoro \(\displaystyle{ x\le -3}\), to \(\displaystyle{ -x\ge 3}\), więc \(\displaystyle{ -x}\) jest dodatnie, czyli opuszczając moduł nie zmieniasz znaku, zatem \(\displaystyle{ |-x|=-x}\). Albo inaczej: \(\displaystyle{ |-x|=|x|}\) i dalej normalnie.

JK
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: qwerty355 »

A no tak, dzięki wielkie, teraz rozumiem. W takim przypadku \(\displaystyle{ x}\) się zredukują i zostanie tylko \(\displaystyle{ 3}\), więc wszystko pasuje.
Trochę odbiegając od tematu, mógłbyś mi wyjaśnić, jak rozwiązywać nierówności, w których jedna wartość bezwzględna znajduje się wewnątrz drugiej?
np. \(\displaystyle{ ||x| - 3| < 2}\)
zacząłem to robić tak (rozbijając na dwie wartości bezwzględne):
\(\displaystyle{ |x| - |3| <2}\)
\(\displaystyle{ |x| - 3 < 2}\)
\(\displaystyle{ |x| - 3 < 2 \wedge |x| - 3 > -2}\)
\(\displaystyle{ |x| < 5 \wedge |x| > 1}\)
\(\displaystyle{ x \in (1;5)}\)
w odpowiedziach jest jednak suma dwóch przedziałów:
\(\displaystyle{ x \in (-5; -1) \cup (1;5)}\)
jak wyliczyć ten drugi przedział?
btw. użyłem dobry funktor?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: Jan Kraszewski »

qwerty355 pisze:np. \(\displaystyle{ ||x| - 3| < 2}\)
zacząłem to robić tak (rozbijając na dwie wartości bezwzględne):
\(\displaystyle{ |x| - |3| <2}\)
\(\displaystyle{ |x| - 3 < 2}\)
\(\displaystyle{ |x| - 3 < 2 \wedge |x| - 3 > -2}\)
\(\displaystyle{ |x| < 5 \wedge |x| > 1}\)
Pierwsze dwie linijki są źle, ale potem jest dobrze, więc wykreśl po prostu te dwie linijki.
qwerty355 pisze:\(\displaystyle{ x \in (1;5)}\)
A to niby skąd? Masz dwie nierówności z wartością bezwzględną, rozwiąż je poprawnie i weź część wspólną rozwiązań.

JK
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: qwerty355 »

A no tak, a ja to potraktowałem jakby \(\displaystyle{ x}\) nie był w module. Więc prawidłowe rozwiązanie wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ |x| -3 < 2 \wedge |x| -3 > -2 \\
|x| < 5 \wedge |x| > 1 \\
|x| < 5 \Leftrightarrow x \in (-5; 5) \\
|x| > 1 \Leftrightarrow x \in (- \infty ; -1) \cup (1; \infty)}\)

Rozwiązaniem jest część wspólna tych dwóch przedziałów, czyli:
\(\displaystyle{ x \in (-5; -1) \cup x \in (1;5)}\)
Teraz wszystko dobrze?
Ostatnio zmieniony 12 sty 2017, o 21:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak, poza tym, że jest to część wspólna tych dwóch zbiorów, a nie przedziałów - ten drugi nie jest przedziałem. Ponadto zapis \(\displaystyle{ x \in (-5; -1) \cup x \in (1;5)}\) jest niepoprawny: albo \(\displaystyle{ x \in (-5; -1) \lor x \in (1;5)}\), albo \(\displaystyle{ x \in (-5; -1) \cup(1;5)}\).

JK
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Własności wartości bezwzględnej.

Post autor: qwerty355 »

No tak, dzięki za sprostowanie.
ODPOWIEDZ