Punkt przecięcia funkcji z wartością bezwzględną

rafineria888 · Post autor: **rafineria888** » 27 gru 2016, o 20:47

Witam. Nie wiem dlaczego punkt przecięcia tych funkcji wynosi \(\displaystyle{ ( -\frac{1}{3}, \frac{1}{3})}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} |x| \\ 2x+1 \end{cases}}\)

Dla \(\displaystyle{ |x| = -x}\) obliczenia są ok, ale dla \(\displaystyle{ |x| = x}\) już nie. Dlaczego?

jutrvy · Post autor: **jutrvy** » 27 gru 2016, o 21:03

Zacznij od rozwiązania równania \(\displaystyle{ |x| = 2x + 1}\). Co Ci wyszło?

rafineria888 · Post autor: **rafineria888** » 27 gru 2016, o 21:43

\(\displaystyle{ |x| = 2x+1 \Rightarrow x = 2x+1 \vee x = -2x-1 \Rightarrow x = -1 \vee x = - \frac{1}{3}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2016, o 21:48

Sprawdź czy otrzymane wyniki spełniają wyjściowe równanie (bo żadnych założeń nie robiłeś).

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 27 gru 2016, o 22:02

Nie możesz tak po prostu opuścić sobie tej wartości bezwzględnej - zauważ, że po prawej stronie równania występuje także zmienna \(\displaystyle{ x}\).

\(\displaystyle{ \left| x\right| = 2x+1}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x \ge 0\\x=2x+1 \end{array}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x < 0 \\-x=2x+1 \end{array}}\)

Z pierwszego układu mamy sprzeczność, a z drugiego \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{3}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2016, o 22:18

Może tak zrobić + to co napisałem.

rafineria888 · Post autor: **rafineria888** » 27 gru 2016, o 22:19

Dobra już widzę. Może być tylko \(\displaystyle{ -1}\) lub \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}}\)
A tylko ten drugi wynik spełnia równanie.
A jakie założenia miałyby tu niby być?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2016, o 22:23

,,opuszczanie" kresek robisz znając znak tego co siedzi między kreskami.

Albo nie robisz założeń a sprawdzasz wyniki tak jak Ci napisałem

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 27 gru 2016, o 22:26

Założenia dokładnie takie jak napisałem wyżej - albo \(\displaystyle{ x}\) jest nieujemny, albo ujemny.

Z pierwszego układu, który napisałem mamy tak:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x \ge 0\\x=2x+1 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x \ge 0\\x=-1 \end{array}}\)
Zauważ, że mamy sprzeczność. \(\displaystyle{ x}\) nie może być jednocześnie nieujemny, jak i równy \(\displaystyle{ -1}\).