Rozwiązywanie równania z dwoma modułami

[yomi145]

Cześć,
niech ktoś zobaczy czy jestem na dobrej drodze do rozwiązania równania z dwoma modułami.
\(\displaystyle{ |x-3|+|x^{2}-9|=0}\)
zaznaczam na osi liczby, które po podstawieniu pod \(\displaystyle{ x}\) dałyby 0. Tymi liczbami są \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -3}\). W tym momencie tworzą się trzy przedziały:
1. \(\displaystyle{ x \in (-\infty , -3\rangle}\)
usuwając moduł: \(\displaystyle{ -x+3+x^{2}-9=0}\)
2. \(\displaystyle{ x \in \langle -3, 3\rangle}\)
\(\displaystyle{ -x+3-x^{2}+9=0}\)
3. \(\displaystyle{ x \in \langle -3, \infty)}\)
\(\displaystyle{ x-3+x^{2}-9=0}\)
I dalej nie jestem pewna. Po podstawieniu pod równania, w których nie ma modułów, rozważam tylko równanie w przedziale 3 ponieważ tam możliwy jest wynik 0? Podstawiam liczbę 3:
\(\displaystyle{ 3-3+3^{2}-9=0}\) zgadza się.
Więc rozwiązaniem jest liczba \(\displaystyle{ 3}\)?

[kerajs]

Więc rozwiązaniem jest liczba \(\displaystyle{ 3}\)?

Tak.

Inaczej:
Suma dwóch liczb nieujemnych jest równa zero gdy obie są zerami.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-3=0 \\ x^2-9=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=3}\)

[yomi145]

A z przedziałami w porządku? Dokładnie chodzi mi o nawiasy domknięte/otwarte.

[Jan Kraszewski]

Rozwiązywanie akurat tego równania w sposób przedziałowy to droga naokoło.

Wystarczy zauważyć, że:

\(\displaystyle{ |x-3|+|x^{2}-9|=|x-3|+|(x-3)(x+3)|=|x-3|+|x-3|\cdot|x+3|=\\=|x-3|(1+|x+3|).}\)

Mamy zatem równość

\(\displaystyle{ |x-3|(1+|x+3|)=0}\),

ale \(\displaystyle{ 1+|x+3|>0}\), zatem \(\displaystyle{ |x-3|=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=3}\).

JK