Równanie z wartością bezwględną

[effyashhorne]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\left| 3-4x\right| } = \frac{2}{\left| x+2\right| }}\)

[Jan Kraszewski]

Zrób założenia, wymnóż na krzyż, a potem rozwiąż.

JK

[effyashhorne]

Ale jak to rozwiązać potem??

[Jan Kraszewski]

Jeśli \(\displaystyle{ |a|=|b|}\) to znaczy, że albo \(\displaystyle{ a=b}\), albo \(\displaystyle{ a=-b}\).

JK

[PoweredDragon]

Dane:
(1)\(\displaystyle{ \frac{1}{\left| 3-4x\right| } = \frac{2}{\left| x+2\right|}}\)

Rozwiązanie:

Wyznaczamy dziedzinę. W mianowniku musi być liczba różna od zera, więc:
\(\displaystyle{ 3-4x \neq 0 \Rightarrow 4x \neq 3 \Rightarrow x \neq \frac{3}{4} \\
x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \\
x \in R \setminus \left\{ -2; \frac{3}{4} \right\}}\)

Po wyznaczeniu dziedziny możemy zrobić na krzyż
(2)\(\displaystyle{ \left| x+2\right| = 2\left| 3-4x\right|}\)
\(\displaystyle{ 2 = \left| 2\right|}\)

Z własności w. bezwzględnej:
\(\displaystyle{ \left| 2\right| \left| 3-4x\right| = \left| 2 \cdot (3-4x)\right| = \left| 6-8x\right|}\)

Podstawiamy do równania (2)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right| = \left| 6-8x\right|}\)

Z własności:
\(\displaystyle{ \left| a\right| = \left| b\right| \Leftrightarrow a = b \vee a = -b}\)

mamy:
(3a) \(\displaystyle{ 6 - 8x = x + 2}\)
(3b) \(\displaystyle{ 8x - 6 = x + 2}\)

Upraszczamy (3a):
\(\displaystyle{ 9x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{9}}\)

To samo robimy z (3b):
\(\displaystyle{ 7x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{7}}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ x \in \left\{\frac{4}{9}; \frac{8}{7}\right\}}\)