Rozwiąż algebraicznie

[Nezex]

Rozwiąż algebraicznie : \(\displaystyle{ |x+1| + x = 6 - |3-x|}\)

[Kacperdev]

No jak się rozwiązuje tego typu przykłady?
Rozpatrz odpowiednie przedziały.

[xxDorianxx]

Obliczając to zadanie zastanów się co zeruje któreś z tych wartości bezwzględnych np gdy w pierwszej wartości...masz \(\displaystyle{ x+1}\) to pod \(\displaystyle{ x}\) jak dasz \(\displaystyle{ -1}\) to sie zeruje więc musisz teraz zrobić tak z każdą wartością bezwzględną w tym przypadku z dwiema i będziesz miał liczby które tego nie spełniają. I napiszesz że to równanie spełniają wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych które zerują

[wolder]

\(\displaystyle{ \left| x+1\right| +x=6-\left| 3-x\right|}\)

Równanie równie dobrze możesz zapisać:

\(\displaystyle{ \left| x+1\right| +x=6-\left| x-3\right|}\)

bo

\(\displaystyle{ \left| a-b\right|=\left| b-a\right|}\)

Zadania rozwiązujemy z definicji.
Na początek sprawdzasz jaka liczba zeruje wartości znajdujące się w wartościach bezwzględnych.
W naszym przypadku jest to \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 3}\)

Rysujesz sobie odciętą i zaznaczasz na niej te dwie liczby.
Otrzymujemy przedziały:

\(\displaystyle{ 1^ \cdot x \in (- \infty ,-1)}\)

\(\displaystyle{ 2^ \cdot x \in \langle -1,3)}\)

\(\displaystyle{ 3^ \cdot x \in \langle 3, \infty )}\)

Teraz podstawiasz dowolną liczbę z danego przedziału do wartości znajdujących się w wartościach bezwzględnych.

Zrobię tutaj przykład dla przedziału \(\displaystyle{ 1}\). Weźmy sobie np. liczbę \(\displaystyle{ -10,}\) bo takowa do tego przedziału należy, podstawiamy ją do:

\(\displaystyle{ \left| x+1\right|}\)

i

\(\displaystyle{ \left| x-3\right|}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ -10+1=-9}\)

\(\displaystyle{ -10-3=-13}\)

Widzimy, że wyniki są ujemny czyli w pierwszym przedziale po usunięciu wartości bezwzględnej to co się w niej znajdowało musi być też ujemny.

Mamy więc dla:

\(\displaystyle{ 1^ \cdot x \in (- \infty ,-1)}\)

\(\displaystyle{ -(x+1)+x=6-[-(x-3)]}\)

\(\displaystyle{ 2^ \cdot x \in \langle -1,3)}\)

\(\displaystyle{ (x+1)+x=6-[-(x-3)]}\)

\(\displaystyle{ 3^ \cdot x \in \langle 3, \infty )}\)

\(\displaystyle{ (x+1)+x=6-(x-3)}\)

Teraz już tylko rozwiązujesz proste równania i sprawdzasz czy cyfra którą otrzymałeś zawiera się w przedziale w którym rozwiązywałeś równanie!