Równanie z dwoma modułami

[Filip46]

\(\displaystyle{ \left| x+2\right| + \left| x+7\right| = 4}\)

Czy wyznaczając z tego typu równań ich miejsca zerowe na osi np.\(\displaystyle{ \left\{ -2,-7\right\}}\) należy przekształcać to równanie patrząc na wartości do niego podstawiane z przedziałów ?

Mianowicie:
Dla pierwszego przedziłu \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ,-7\right\rangle}\) powinno to wyglądać tak :
\(\displaystyle{ -x-2-x-7=4}\)
czy tak :
\(\displaystyle{ -x-2+x+7=4}\)
Czy uwzględniamy że przedział obejmuje liczby ujemne i z definicji zmienia \(\displaystyle{ \left| a-x\right|}\) na
\(\displaystyle{ x-a}\), czy liczby w nim będące (co w przypadku \(\displaystyle{ \left| x-7\right|}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left( - \infty ,-7\right\rangle}\) wynosiłoby \(\displaystyle{ x-7}\) czyli \(\displaystyle{ \left| 0\right|}\) .

[novicjusz]

Po pierwsze nie wiem co ten zapis w klamrach oznacza, ale zakładam, że chodzi o \(\displaystyle{ ]-7, -2[}\).

Nie wiem czy Ci mój wpis coś da, ale ja bym zrobił to tak (pomijając, że nie bardzo rozumiem o co pytasz). Patrze na pierwszy moduł i widzę, że możemy opuścić kreski dla \(\displaystyle{ x \ge -2}\) czyli dla Twojego zakresu dodajemy minus. W drugim module widzę, że dla \(\displaystyle{ x \ge -7}\) opuszczamy kreski, więc jesteśmy w Twoim zakresie, a więc mamy równanie
\(\displaystyle{ -x -2 + x + 7 = 4}\), która nie ma rozwiązania. Czyli w Twoim zakresie nie znajdziemy rozwiązania.

[kropka+]

Autor pytał o zakres \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ,-7\right\rangle}\).
Najprościej jest sobie podstawić za iksa jakąś liczbę z tego zakresu np. \(\displaystyle{ x=-10}\) i sprawdzić znak wyrażeń w wartościach bezwzględnych. W tym przypadku dostajemy dwie liczby ujemne, więc równanie ma postać
\(\displaystyle{ -x-2-x-7=4}\)
Co do \(\displaystyle{ x=-7}\) to nie ma znaczenia, czy będzie w pierwszym przedziale czy w drugim, bo \(\displaystyle{ \left| 0\right| =+0=-0=0}\) i można dowolnie zdjąć moduł.

[wolder]

\(\displaystyle{ \left| x+2\right| + \left| x+7\right| = 4}\)

na początek patrzysz jakie liczby podstawione za \(\displaystyle{ x}\) w war. bezwzględnej dają nam wynik \(\displaystyle{ 0}\).
Dla pierwszej będzie to \(\displaystyle{ -2}\), dla drugiej \(\displaystyle{ -7}\).

Teraz rysujesz sobie oś na której zaznaczasz te dwie liczby i dostajesz 3 przedziały:

\(\displaystyle{ 1^\circ x \in (- \infty ,-7)}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ x \in \langle-7,2)}\)

\(\displaystyle{ 3^\circ x \in \langle-2, \infty )}\)

i teraz podstawiasz dowolną liczbę z tego przedziału do

\(\displaystyle{ x+2}\)

i

\(\displaystyle{ x+7}\)

i sprawdzasz czy wynik jest dodatni czy ujemny, weźmy sobie np. \(\displaystyle{ -10}\) z 1 przedziały

\(\displaystyle{ -10+2=-8}\)

\(\displaystyle{ -10+7=-3}\)

więc wiemy, że w 1 przedziale po usunięciu wartości bezwzględnej wstawiamy przed jej wartość "\(\displaystyle{ -}\)".
Analogicznie postępujemy z resztą przedziałów ostatecznie wychodzi nam:


\(\displaystyle{ 1^\circ x \in (- \infty ,-7)}\)

\(\displaystyle{ -(x+2)-(x+7)=4}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ x \in \langle-7,2)}\)

\(\displaystyle{ -(x+2)+(x+7)=4}\)

\(\displaystyle{ 3^\circ x \in \langle-2, \infty )}\)

\(\displaystyle{ (x+2)+(x+7)=4}\)

Teraz już tylko rozwiązujesz proste równania i sprawdzasz czy cyfra którą otrzymałeś zawiera się w przedziale w którym rozwiązywałeś równanie!

[Zahion]

Można też \(\displaystyle{ \left| x + 2\right| + \left| x + 7 \right| = \left| -x - 2\right| + \left| x + 7 \right| \ge \left| 5 \right| = 5 > 4}\)

[Filip46]

Po pierwsze nie wiem co ten zapis w klamrach oznacza, ale zakładam, że chodzi o \(\displaystyle{ ]-7, -2[}\).

W tych klamrach umieściłem miejsca zerowe.