Udowodnić 1 = |-1|

[novicjusz]

Dane mam ciało z następującymi aksjomatami.
1. \(\displaystyle{ |x| \ge 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i \(\displaystyle{ |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0}\).
2. \(\displaystyle{ |x y | = |x||y|}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\)
3. \(\displaystyle{ |x+y| \le |x|+|y|}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\).

Jak tu pokazać \(\displaystyle{ |-1| = 1}\)? Wiem na razie, że \(\displaystyle{ |1| = 1}\). Wiem również, że \(\displaystyle{ x^2 = 1}\) ma dokładnie dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=-1}\), a więc \(\displaystyle{ |-1|=1}\) lub \(\displaystyle{ |-1|=-1}\). Muszę więc wykluczyć drugi wariant. Pytanie jak? Nie wprost doszedłem np. do \(\displaystyle{ 1=-1}\), ale czy to mi jakoś pomoże dojść do sprzeczności? Tutaj chyba nie ma sprzeczności z ciałem. Zablokowałem się, a zakładam, że to jest bardzo trywialne...

Dodam tylko dla jasności, że wpis mój nawiązuje do wartosc-bezwzgledna-f109/udowodnic-x-x-t411627.html . Chociaż wiedza z tamtego tematu nie jest potrzebna, żeby udzielić mi wskazówki. Po prostu przeglądając moje notatki i wracając do poprzedniego tematu stwierdziłem, że nie padła tam odpowiedź na moje kluczowe pytanie odnośnie \(\displaystyle{ 1 = |-1|}\), a wolałem założyć nowy temat, żeby nie trzeba było przebijać się przez tamte poprzednie posty.

[szw1710]

Coś tu mieszasz. Z jednej strony abstrakcyjne ciało, a z drugiej \(\displaystyle{ \RR}\). Także nierówność, która możliwa jest w zasadzie tylko w \(\displaystyle{ \RR}\), chyba że mamy ciało uporządkowane. Zastanów się nad sformułowaniem tych aksjomatów. Chyba że \(\displaystyle{ \RR}\) oznacza właśnie to ciało, ale skąd więc nierówność?

Bardziej trzeba by brać coś na modłę modułu zespolonego: niech \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) będzie ciałem i niech będzie dana funkcja \(\displaystyle{ |\cdot|:\mathbb{K}\to\RR}\) spełniająca te trzy aksjomaty, przy czym zakładamy tam, że \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{K}}\). Itd.

[novicjusz]

Tak jak piszesz, chodzi tu o ciało \(\displaystyle{ K}\), gdzie dana jest funkcja \(\displaystyle{ K \rightarrow \RR, x \mapsto |x|}\) spełniająca podane aksjomaty.

[a4karo]

Spróbuj udowodnić takie kroki:
\(\displaystyle{ |1|=1}\)
\(\displaystyle{ (-1)\cdot(-1)=1}\)

Stąd wywnioskuj, że \(\displaystyle{ |-1|^2=1}\)

[novicjusz]

Te dwa kroki mam udowodnione, ale według mnie nie wynika z nich ten ostatni.

PS. Chwila... źle Cię zrozumiałem. Wiem, że \(\displaystyle{ |-1|^2 =1}\). Ale właśnie przejście do \(\displaystyle{ |-1|=1}\) sprawia mi problem. Albo jest tu jakiś haczyk albo po prostu jest to tak trywialne i ja tego nie widzę...

[a4karo]

A jakie znasz nieujemne liczby rzeczywiste, które podniesione do kwadratu dają jedynkę?

[novicjusz]

Pewnie chcesz usłyszeć, że \(\displaystyle{ 1}\), ale ja nie wiem czy \(\displaystyle{ 1}\) jest liczbą nieujemną. Wiem, że \(\displaystyle{ 1 \not = 0}\). A czy mogę w ogóle stwierdzić \(\displaystyle{ 1>0}\) bez porządku? Według mnie nie.

[a4karo]

\(\displaystyle{ |\cdot|}\) jest funkcją, która przyjmuje wartości rzeczywiste.


Zaraz, jeżeli masz takie wątpliwości, to o czym w ogóle rozmawiamy? I może powiedz co oznacza warunek \(\displaystyle{ |x|\geq 0}\)

[novicjusz]

Dobrze, że pytam, bo wychodzi na jaw moja niewiedza.

\(\displaystyle{ |x| \ge 0}\) oznacza \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x>0}\). Pewnie zapytasz co oznacza \(\displaystyle{ >}\). Więc w takim kontekście muszę odpowiedzieć, że nie wiem...

\(\displaystyle{ >}\) poznałem (w analizie przy wyprowadzaniu liczb rzeczywistych) w kontekście porządku. Tam \(\displaystyle{ >}\) oznacza liczby oznakowane jako pozytywne spełniające trzy aksjomaty (aksjomaty porządku).

Teraz wracając do mojego zadania. Tutaj \(\displaystyle{ >}\) traktowałem po prostu jak "jakieś liczby pozytywne" albo inaczej jakiś podzbiór liczb rzeczywistych. Być może tutaj leży mój błąd? Ale... W notatkach mam wyraźnie zaznaczone, że istnieją ciała jak w zadaniu, które nie są uporządkowane jak np. liczby zespolone. Więc po samym znaku \(\displaystyle{ >}\) chyba nie mogą oczekiwać porządku? Ale z drugiej strony za pomocą \(\displaystyle{ >}\) wyznacza się elementy pozytywne spełniające aksjomaty porządku. Więc ja już nic nie rozumiem... Może ktoś mi to rozjaśni.

PS. Skoro nie mogę oczekiwać porządku to nie mogę też przyjmować (chyba) \(\displaystyle{ 1>0}\).

[a4karo]

Ale przecież nierówność w warunku 1 nie dotyczy elementów ciała \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\), tylko liczb rzeczywistych (bo \(\displaystyle{ |x|}\) jest liczbą rzeczywistą)

W równaniu \(\displaystyle{ |-1|=1}\) jedynka po lewej stronie jest jedynka w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\), a ta po prawej jest liczba rzeczywista rowną jeden.

[novicjusz]

Racja. Więc jak najbardziej mogę tu korzystać z praw liczb rzeczywistych, które znam czyli porządku.