nierówność z wartością bezwzględną

[kurator93]

Witam.

Mam taką nierówność i nie mogę za bardzo ogarnąć jak ją policzyć aby wyszła dobrze:

\(\displaystyle{ \left| \frac{x}{x-2} \right| >1}\)

i tak to liczę:

Rozbijam na 2 nierówności pozbywając się wartości bezwzględnej

\(\displaystyle{ \frac{x}{x-2}>1}\)

oraz

\(\displaystyle{ \frac{x}{x-2}<-1}\)

Pierwsza:

\(\displaystyle{ \frac{x}{x-2}>1 / \cdot (x-2)}\)

\(\displaystyle{ x>x-2}\)

\(\displaystyle{ 0>-2}\)


Druga:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x-2}<-1 / \cdot (x-2)}\)

\(\displaystyle{ x<-x+2}\)

\(\displaystyle{ 2x<2}\)

\(\displaystyle{ x<1}\)

z wykresu widać że ogólny wynik powinien być \(\displaystyle{ x>1}\)

[AloneAngel]

Mnożenie przez \(\displaystyle{ x - 2}\) jest niebezpieczne (dlaczego? ).

[kurator93]

nie wiem, bo to wyrażenie może być ujemne i wtedy trzeba odwrócić znak nierówności?

Ale to jak to w takim razie najlepiej jest zrobić?

[piasek101]

Po ustaleniu dziedziny pomnożyć przez kwadrat mianownika.

[Tifulo]

\(\displaystyle{ \left| \frac{x}{x-2} \right| >1 \Leftrightarrow \left| x\right|>\left| x-2\right| \wedge x \neq 2 \Leftrightarrow x^2>(x-2)^2 \wedge x \neq 2 \Leftrightarrow ...}\)

[bakala12]

nie wiem, bo to wyrażenie może być ujemne i wtedy trzeba odwrócić znak nierówności?

Dokładnie tak.

Ale to jak to w takim razie najlepiej jest zrobić?

Pomnożyć przez coś co ma stały znak (i najlepiej żeby jeszcze zawierało \(\displaystyle{ \left( x-2\right)}\), żeby skrócić ułamek).
Podpowiedź 2: Pamiętasz, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny?