Wartość bezwzględna

[Fluffyshy]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu nierówności z wartością bezwzględna

\(\displaystyle{ \frac{1}{\left|x-4\right|}<\frac{1}{\left|x+7\right|}}\)

[Ymat]

Rozpisz moduły na trzy przedziały \(\displaystyle{ (- \infty , -7) ; (-7,4) ( 4, \infty)}\) W każdym przedziale rozważ znaki modułów i pozostaje przerzucenie wszystkiego na jedną stronę i policzenie. Jeżeli będziesz miał z czymś problem to pisz.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x \in (- \infty , -7)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{-(x+7)} - \frac{1}{-(x-4)}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{x+7} + \frac{1}{x-4}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x+7-x+4}{(x-4)(x+7)}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{11}{(x-4)(x+7)}>0 / \cdot (x-4)(x+7)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-4)(x+7)>0}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-7) \cup (4, \infty )}\)
Uwzględniając przedział mamy
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-7)}\) w 1 przypadku, pozostałe dwa rozważamy analogicznie

[Premislav]

Ymat, te przedziały powinny trochę inaczej wyglądać (dziedzina).

Po uwzględnieniu dziedziny można też pomnożyć stronami przez iloczyn mianowników dla \(\displaystyle{ x \in \RR\setminus \left\{-7,4\right\}}\) i rozwiązać otrzymaną nierówność graficznie:
kiedy odległość \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ 4}\) na osi liczbowej jest większa niż odległość (standardowo rozumiana) \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ -7}\)?

[Ymat]

Mój błąd, już poprawione.

[Fluffyshy]

Ale w ostatnim przedziale wychodzi \(\displaystyle{ (4;\infty)}\)

[Ymat]

Na moje oko wygląda to tak:
\(\displaystyle{ x \in (4, \infty )}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+7}- \frac{1}{x-4}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-4-x-7}{(x+7)(x-4)}}\)
Po przekształceniach mamy:
\(\displaystyle{ -11(x-4)(x+7)>0}\)
Zatem: \(\displaystyle{ x \in (-7,4)}\) czyli w tym przedziale nie ma rozwiązań.

Edit.
Podstaw np. 5 za x, można zauważyć że nierówność nie jest spełniona.

[Fluffyshy]

Ok ok, nie umiem dodawać dzięki bardzo

[bakala12]

Haha Nikt nie zauważył, że obie strony są dodatnie, więc można pozbyć się ułamków i napisać:
\(\displaystyle{ \left|x-4\right|>\left|x+7\right|}\)
(oczywiście zmieniliśmy zwrot nierówności na przeciwny i pamiętamy o dziedzinie!)

[Premislav]

bakala12, przecież właśnie to w gruncie rzeczy napisałem.