Udowodnić |-x| = |x|

[Santiago A]

Gubisz się chyba w abstrakcyjności tego ujęcia wartości bezwzględnych. Tutaj mamy do czynienia z funkcjami rangi jeden - z dowolnego ciała \(\displaystyle{ K}\) w zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathbb R_+}\). Rozpatruje się też inne przeciwdziedziny (grupy uporządkowane), ale nie zajmuj się nimi teraz. To niepotrzebne.

Za każdym razem, kiedy piszę \(\displaystyle{ |1|}\) lub \(\displaystyle{ |-1|}\) wiem, że mam do czynienia z liczbą rzeczywistą - dlatego szukam rzeczywistych pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^2 - x = 0}\) (mogę to zrobić wyróżnikiem, zgadując, wyłączając wspólny czynnik przed nawiasy, itd.) i znajduję całe dwa. Dokładnie to samo robię później. Skoro \(\displaystyle{ |-1|^2 = 1}\), to wiem, że \(\displaystyle{ |-1|}\) jest rzeczywistym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^2 - 1 = 0}\).

Swoją drogą, w każdym ciele \(\displaystyle{ \pm 1}\) są jedynymi pierwiastkami drugiego stopnia z jedynki. Istotnie, skoro \(\displaystyle{ x^2 = 1}\), to \(\displaystyle{ x^2 - 1 = (x-1) (x+1) = 0}\), a że ciała pozbawione są dzielników zera, to \(\displaystyle{ x-1 = 0}\) lub \(\displaystyle{ x+1 = 0}\) i stąd już wynika to, co obieciałem w zdanie temu.

[novicjusz]

No dobrze, rozumiem, że zgadłeś te dwie liczby stanowiące rozwiązanie, ale to wcale nie znaczy, że \(\displaystyle{ |1|=1}\). Musiałbyś wiedzieć, że istnieją dokładnie dwa rozwiązania (bo wtedy zero możesz sobie odrzucić i zostaje jedno rozwiązanie). To samo tyczy się \(\displaystyle{ |-1|^2 = 1}\). Poza tym w drugim przypadku \(\displaystyle{ -1}\) również rozwiązuje równanie i na jakiej zasadzie chcesz wykluczyć \(\displaystyle{ -1}\)? Skąd wiesz, że jest \(\displaystyle{ -1<0}\) bez porządku w ciele?

[Santiago A]

Mogę ponownie skorzystać z tego, że ciała pozbawione są dzielników zera: \(\displaystyle{ x(x-1) = 0}\) pociąga \(\displaystyle{ x - 1 = 0}\) lub \(\displaystyle{ x = 0}\). Drugi przypadek muszę odrzucić: \(\displaystyle{ |1|}\) nie może być zerem, ponieważ \(\displaystyle{ 1}\) nie jest zerem. To jeden z aksjomatów ciała.

Na przeciwdziedzinie \(\displaystyle{ \mathbb R_+ \subsetneq \mathbb R}\) jest naturalny porządek. Dodatkowo \(\displaystyle{ -1 \not \in \mathbb R_+}\): wartość bezwzględna jest nieujemna. Zawsze.

[novicjusz]

Ok, teraz rozumiem, że \(\displaystyle{ x^2 -x}\) może mieć dokładnie dwa rozwiązania. W sumie to jest banalne. Chociaż według mnie jeszcze banalniejsze było \(\displaystyle{ |1||1| = |1|}\) i pomnożenie przez \(\displaystyle{ |1|^{-1}}\) co daje bezpośrednio \(\displaystyle{ |1| = 1}\).

Również zgadzam się, że przeciwdziezina ma porządek. To był mój błąd.

Szczerze mówiąc to nie rozumiem co to znaczy, że ciało jest pozbawione dzielników zera, może dla tego, że nie bardzo orientuje się w algebrze. Np. przy równaniu \(\displaystyle{ x^2 -1 = (x-1)(x+1) = 0}\) wiem, że gdyby oba czynniki nie były równe zero to równanie nie byłoby spałnione (wynika to z prostych twierdzeń bazujących na porządku). Z kolei dowolny czynnik równy zero da rozwiązanie czy \(\displaystyle{ x-1=0}\) lub \(\displaystyle{ x+1=0}\) tak jak napisałeś.

[Santiago A]

Musisz jeszcze napisać, że element odwrotny do \(\displaystyle{ |1|}\) istnieje. Wynika to z definicji wartości bezwzględnej.

Dzielniki zera to takie niezerowe elementy pierścienia \(\displaystyle{ R}\), których iloczyn jest zerem. Przykład - \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) w \(\displaystyle{ \mathbb Z /6}\) albo macierze odpowiadające rzutom na osie płaszczyzny (\(\displaystyle{ \mathbb R^2}\)) w pierścieniu macierzy kwadratowych \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Informacje o nich znajdziesz w każdej książce poświęconej algebrze (może seria Kostrikina?). Zabieranie się za wartości bezwzględne bez takich podstaw może, ale nie musi być błędem.

[novicjusz]

Element odwrotny istnieje ponieważ \(\displaystyle{ |1|}\) nie jest równe \(\displaystyle{ 0}\) (z a)) oraz \(\displaystyle{ |1|}\) jest liczbą rzeczywistą (a dokładniej dodatnią liczbą rzeczywistą).

Co do ostatniej uwagi, to fakt. Nawet nie wiedziałem, że temat się tak rozwinie. Po prostu to był raczej temat poboczny mojego zapoznawania się z wartością bezwzględną i raczej nie mam zamiaru się zajmować w chwili obecnej algebrą (wolę analizę ).

Temat się chyba pomału wyczerpał. Dziękuję za pomoc.