Prosta nierówność

[KrolKubaV]

Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y}\), spełniające warunek \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} -1 < xy}\) . Udowodnij, że \(\displaystyle{ x + y - \left| x - y \right| < 2}\) .

[Vax]

Z założenia \(\displaystyle{ (x-y)^2 < 1-xy}\) mamy \(\displaystyle{ xy < 1}\), zapisując tezę w postaci \(\displaystyle{ |x-y| > x+y-2}\) widzimy, że dla \(\displaystyle{ x+y-2 \le 0}\) nierówność działa, skąd możemy założyć, że \(\displaystyle{ x+y-2 > 0 \iff x+y > 2}\). Powyższe zależności dowodzą, że jedna z \(\displaystyle{ x, y}\) jest większa od \(\displaystyle{ 1}\) a druga mniejsza (czemu?). Stąd \(\displaystyle{ (x-1)(1-y) > 0 \iff (x-y)^2 > (x+y-2)^2 \iff |x-y| > x+y-2}\)