Nierówność z wartością bezwzględną

[KrolKubaV]

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b, c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a^{2} +b ^{2} + c ^{2} \ge \left| ab+ac+bc\right|}\) .

[Kaf]

Udowodnij najpierw, że \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca}\), potem podstaw \(\displaystyle{ a:=|a|, b :=|b|, c:=|c|}\) i wykorzystaj znane własności wartości bezwzględnej.

[Igor V]

\(\displaystyle{ |a|^2 + |b|^2 \ge 2|ab|}\)
\(\displaystyle{ |b|^2 + |c|^2 \ge 2|bc|}\)
\(\displaystyle{ |a|^2 + |c|^2 \ge 2|ac|}\)

\(\displaystyle{ |x|^2 = x^2}\)

Dodając stronami :
\(\displaystyle{ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \ge 2|ab| + 2|bc| + 2|ac|}\)
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \ge |ab| + |bc| + |ac| \ge |ab + bc + ac|}\)

Sorry, nie chciało mi się już posta kasować jak go napisałem.