Parzystośc, nieparzystość z wartoscia bezwzgledna

[Vidar]

Do sprawdzenia miałem parzystość tej funkcji:

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-4}{|x-2|}}\)

W jaki sposób mam to wykonać, czy mam zrobić, aż 3 przypadki dla tego zadania?
Od nieskonczonosci do \(\displaystyle{ -2}\), od \(\displaystyle{ -2}\) do \(\displaystyle{ 2}\) i od \(\displaystyle{ 2}\) do nieskonczonosci i wtedy okreslic dla kazdego przypadku parzystosc lub nieparzystosc funkcji?

Drugi przykład to sprawdzanie nieparzystosci:
\(\displaystyle{ \frac{|x|}{x}}\)

Po zrobieniu 2 przypadków \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ x<0}\) jestem w stanie okreslic, ze te funkcje są nieparzyste i parzyste, ale nie skracajac tych "\(\displaystyle{ x}\)" to po prostu nie wychodzi, tak jakby nie były nieparzyste.

Pozdrawiam i dziekuje za pomoc

[a4karo]

Po prostu zamiast \(\displaystyle{ x}\) wstaw \(\displaystyle{ -x}\) i zobacz czy wyszło to samo (a może to samo tylko z przeciwnym znakiem.

[bakala12]

W pierwszym przykładzie nie ma czego sprawdzać. Wystarczy zobaczyć, że dziedzina nie jest symetryczna względem zera, a więc ani na parzystość, ani na nieparzystość nie ma żadnych szans.

[Jan Kraszewski]

Drugi przykład to sprawdzanie nieparzystosci:
\(\displaystyle{ \frac{|x|}{x}}\)

Po zrobieniu 2 przypadków \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ x<0}\) jestem w stanie okreslic, ze te funkcje są nieparzyste i parzyste, ale nie skracajac tych "\(\displaystyle{ x}\)" to po prostu nie wychodzi, tak jakby nie były nieparzyste.

Jakie "te funkcje'? Przecież tu jest tylko jedna funkcja.

JK

[Vidar]

bakala12, Chodzi Ci oto, ze dziedziny nie sa równe w pierwszym przykładzie?

Co do pierwszego przykładu mam to wyrażenie:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-4}{|x-2|}}\)

Teraz robiąc \(\displaystyle{ f(-x)}\) zostaje mi \(\displaystyle{ \frac{x^{2}-4}{|-x-2|}}\)
Jeżeli w module jest takie wyrażenie to nie powinienem zrobić do tego oddzielnych przypadków, że
\(\displaystyle{ |-x-2|\neq0}\), a więc \(\displaystyle{ -x-2 > 0}\) dla którego wstawiam \(\displaystyle{ -x-2}\)
oraz
\(\displaystyle{ -x-2 < 0}\) dla którego wstawiam \(\displaystyle{ x+2}\)

... pogubiłem sie, czy to ma jakis sens co tutaj napisalem? Rozpisalem to na kartce i nie wiem jak mam to rozwiazac

EDIT:
W skrócie chodzi mi oto, że po wstawieniu minusa do modułu \(\displaystyle{ f(-x)}\) będzie inny, ale po zdjęciu modułu nie zmieniam tych znaków co stoją przy \(\displaystyle{ x}\) ?

[Jan Kraszewski]

Co do pierwszego przykładu, to nic nie zrozumiałeś. Żeby funkcja była parzysta/nieparzysta, to w szczególności musi mieć dziedzinę symetryczną względem zera. To dziedzina to \(\displaystyle{ \RR\setminus\{2\}}\), więc nie spełnia tego warunku. Zatem nic nie liczysz, to już koniec, nie jest spełniony warunek konieczny, więc funkcja nie jest parzysta.

Wydaje mi się, że nie rozumiesz pojęć, którymi operujesz. Cały czas pojawia się liczba mnoga: dziedziny, funkcje itd. Tu nie ma funkcji czy dziedzin! Jest jedna funkcja i jedna dziedzina.

JK

[bakala12]

Jakie są warunki na to aby funkcja była parzysta/nieparzysta?
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \pm f\left( -x \right)}\)

Zauważ, że ten warunek ma być spełniony dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny funkcji (czyli dla tych argumentów dla których funkcja jest określona).
W szczególności, aby warunek na parzystość/nieparzystość zachodził, musi być:

Dla każdego \(\displaystyle{ x \in D}\) zachodzi \(\displaystyle{ -x \in D}\) (gdzie \(\displaystyle{ D}\) oznacza dziedzinę funkcji.

To jest tak jak napisał Jan Kraszewski warunek konieczny. U nas nie zachodzi, bo jak łatwo się przekonać \(\displaystyle{ -2 \in D}\), zaś \(\displaystyle{ 2 \not \in D}\). Żeby sobie to bardziej uzmysłowić popatrz jeszcze raz na warunek na parzystość i podstaw do niego \(\displaystyle{ 2}\) (lub, co na jedno wychodzi, \(\displaystyle{ -2}\)).
Wówczas wartość funkcji dla \(\displaystyle{ -2}\) (po jednej stronie) będzie \(\displaystyle{ 0}\), a wartość dla \(\displaystyle{ 2}\) jest nieokreślona. Nie można powiedzieć, że \(\displaystyle{ 0}\) i coś nieokreślonego są sobie równe, więc warunek na parzystość/nieparzystość nie jest spełniony (ani jeden, ani drugi). W takiej sytuacji funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Pozwoliłem sobie na pewne skróty myślowe, ale mam nadzieję, że wszystko jest jasne.

[Vidar]

Dziękuję bardzo za pomoc, wytłumaczone jak dla chłopa, dzięki wielkie

Pozdrawiam