Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ |x-1|=a^{2}-4a-1}\) ma dwa dodatnie pierwiastki?

Wszystko ładnie, tylko bez znaczników texa. Poprawiam. Calasilyar

Moduł jest nieujemny, więc żeby równanie \(\displaystyle{ | x-1|}\) miało dwa pierwiastki, to równanie kwadratowe mu być większe od zera. No to liczymy:
\(\displaystyle{ a^2-4a-1=(a-2)^2-5=(a-2-\sqrt5)(a-2+\sqrt5) > 0}\)
Czyli szukane \(\displaystyle{ a (-\infty, -2-\sqrt5) \cup (-2+\sqrt5,+\infty)}\)

Hmmm... w odpowiedziach jest trochę inaczej...
(2-√6 ; 2-√5) u (2+√5 ; 2+√6)
mógłby to ktoś jeszcze sprawdzić??

Gdy \(\displaystyle{ a=10 > 2 + \sqrt6}\) to wtedy mamy \(\displaystyle{ |x-1| = 100-40-1=59 x=60 x=-58}\)

Chyba powinno byc tak:
\(\displaystyle{ 1>a^{2}-4a-1>0}\)
Jak to rozwiazesz powinnien wyjsc dobry wynik.

ups. Dodatnie pierwiastki... Równanie \(\displaystyle{ |x-1| = k}\) ma dwa dodatnie pierwiastki dla \(\displaystyle{ k \in (0,1)}\). Sprawdzone jest dla jakich \(\displaystyle{ a}\) zachodzi \(\displaystyle{ |x-1| > 0}\). Teraz trzeba sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ a}\) zachodzi \(\displaystyle{ |x-1| < 1}\), czyli:
\(\displaystyle{ 1 > a^2-4a-1 \\
0 > a^2-4a -2 = (a-2)^2 -6 = (a - 2 - \sqrt6)(a - 2 + \sqrt6)}\)
Stąd widać, że \(\displaystyle{ a (- 2 - \sqrt6, - 2 + \sqrt6)}\).

W takim razie szukane \(\displaystyle{ a (- 2 - \sqrt6, - 2 - \sqrt5) \cup (-2 + \sqrt5, - 2 + \sqrt6)}\).

Przepraszam za nieuwagę.

Dzięki wielkie Tylko bardzo prosiłabym jeszcze kogoś o proste wytłumaczenie w jaki sposób określamy pierwiastki, w zależności (np. dwa pierwiastki różnych znaków lub jak wyżej...) Bo to nie bardzo rozumiem ??:

W funckji kwadratowej korzystamy ze wzorow viete'a. np:
dwa pierwiastki rownych znakow, czyli: \(\displaystyle{ x_1x_2}\)