Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3042
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 814 razy

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Post autor: loitzl9006 » 21 mar 2014, o 19:35

\(\displaystyle{ \left| 9-x^2\right|+1-\left| 4-3x\right| =2x}\)

1. Wyznaczamy argumenty (czyli iksy), dla których wyrażenia w wartościach bezwzględnych przyjmują wartość zero:

\(\displaystyle{ 9-x^2=0 \\ 9=x^2 \\ \blue x=3 \black \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x=-3 \black \\ \\ 4-3x=0 \\ \blue x=\frac43}\)


2. Tworzymy przedziały o końcach w wyznaczonych wcześniej punktach:

\(\displaystyle{ A: \ x\in\left( -\infty; -3\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ B: \ x\in\left( -3;\frac43\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ C: \ x\in\left( \frac43;3\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ D: \ x\in\left( 3;+\infty\right)}\)


3. Rozwiązujemy równanie dla każdego z przedziałów:

a) \(\displaystyle{ A: \ x\in\left( -\infty; -3\right\rangle}\)

Wybieramy dowolną liczbę (najlepiej całkowitą) z przedziału \(\displaystyle{ A}\). Unikamy wartości krańcowych (takich jak \(\displaystyle{ x=-3}\)).
W tym przypadku wygodnie wybrać liczbę \(\displaystyle{ x=-5}\).
Wstawiamy wybraną liczbę do wyrażeń znajdujących się między kreskami wartości bezwzględnej (czyli do \(\displaystyle{ 9-x^2}\) oraz \(\displaystyle{ 4-3x}\)).
Obliczamy wartości obu wyrażeń. Dla nas jest istotne wyłącznie to, czy obliczone wartości są dodatnie czy ujemne:

\(\displaystyle{ 9-x^2=9-(-5)^2=9-25=-16}\) (wartość ujemna)

\(\displaystyle{ 4-3x=4-3\cdot (-5)=4+15=19}\) (wartość dodatnia)

Jeżeli obliczona wartość wyrażenia okaże się ujemna to rozwiązując dalej równanie, zamieniamy znaki w tym wyrażeniu między kreskami na przeciwne, zaś same kreski zamieniamy na nawiasy.
Jeżeli obliczona wartość okaże się dodatnia to rozwiązując dalej równanie, zamieniamy pionowe kreski w tym wyrażeniu na nawiasy:

\(\displaystyle{ \left( -9+x^2\right)+1-\left( 4-3x\right) =2x}\)

Opuszczamy nawiasy i szukamy potencjalnych rozwiązań naszego równania z wartością bezwzględną:

\(\displaystyle{ -9+x^2+1-4+3x=2x \\ x^2+x-12=0 \\ \blue x_1=-4 \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=3}\)

Otrzymane liczby \(\displaystyle{ x_1=-4, \ x_2=3}\) muszą należeć do przedziału, w którym rozwiązujemy równanie (akurat tutaj jest to przedział \(\displaystyle{ A}\)). Jeżeli któraś z liczb nie należy, to nie jest ona rozwiązaniem równania.

\(\displaystyle{ x_1=-4 \in A \\ x_2=3 \notin A}\)

\(\displaystyle{ x_1=-4}\) jest rozwiązaniem równania, zaś \(\displaystyle{ x_2=3}\) nie jest.


b) \(\displaystyle{ B: \ x\in\left( -3;\frac43\right\rangle}\)

Wybieramy np. liczbę \(\displaystyle{ 0}\):

\(\displaystyle{ 0 \in B}\)

\(\displaystyle{ 9-x^2=9-0^2=9}\) (wartość dodatnia)

\(\displaystyle{ 4-3x=4-3\cdot 0=4}\) (wartość dodatnia)

\(\displaystyle{ \left( 9-x^2\right)+1-\left( 4-3x\right) =2x \\ 9-x^2+1-4+3x=2x \\ -x^2+x+6=0 \\ \blue x_1=-2 \in B \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=3 \notin B}\)

\(\displaystyle{ x_1=-2}\) jest rozwiązaniem równania, zaś \(\displaystyle{ x_2=3}\) nie jest.

c) \(\displaystyle{ C: \ x\in\left( \frac43;3\right\rangle}\)

Wybieramy np. liczbę \(\displaystyle{ 2}\):

\(\displaystyle{ 2\in C}\)

\(\displaystyle{ 9-x^2=9-2^2=9-4=5}\) (wartość dodatnia)

\(\displaystyle{ 4-3x=4-3\cdot 2=4-6=-2}\) (wartość ujemna)

\(\displaystyle{ \left( 9-x^2\right)+1-\left( -4+3x\right) =2x \\ 9-x^2+1+4-3x=2x \\ -x^2-5x+14=0 \\ \blue x_1=-7 \notin C \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=2 \in C}\)

\(\displaystyle{ x_2=2}\) jest rozwiązaniem równania, zaś \(\displaystyle{ x_1=-7}\) nie jest.

d) \(\displaystyle{ D: \ x\in\left( 3;+\infty\right)}\)

Wybieramy np. liczbę \(\displaystyle{ 4}\):

\(\displaystyle{ 4 \in D}\)

\(\displaystyle{ 9-x^2=9-4^2=9-16=-7}\) (wartość ujemna)

\(\displaystyle{ 4-3x=4-3\cdot 4=4-12=-8}\) (wartość ujemna)

\(\displaystyle{ \left( -9+x^2\right)+1-\left( -4+3x\right) =2x \\ -9+x^2+1+4-3x=2x \\ x^2-5x-4=0 \\ \blue x_1=\frac{5-\sqrt{41}}2 \approx -0.7 \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=\frac{5+\sqrt{41}}2 \approx 5.7}\)

\(\displaystyle{ x_2=\frac{5+\sqrt{41}}2}\) jest rozwiązaniem równania bo należy do zbioru \(\displaystyle{ D}\), zaś \(\displaystyle{ x_1=\frac{5-\sqrt{41}}2}\) nie jest, bo do zbioru \(\displaystyle{ D}\) nie należy.

***
Podsumowując, rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ \left| 9-x^2\right|+1-\left| 4-3x\right| =2x}\) są liczby:

\(\displaystyle{ \blue x=-4, \ x=-2, \ x=2, \ x=\frac{5+\sqrt{41}}2}\)

***

Można rozwiązać to nieco inaczej - metodą zaproponowaną przez użytkownika Jarmil:

\(\displaystyle{ |9-x^2|+1-|4-3x|-2x=0}\)

1) Zakładamy że:

\(\displaystyle{ 9-x^2 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ 4-3x \ge 0}\)

wtedy:
\(\displaystyle{ 9-x^2+1- 4+3x -2x=0}\)

\(\displaystyle{ -x^2+x+6=0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1-4 \cdot (-1) \cdot 6} =5}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-1+5}{-2}=-2}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-1-5}{-2}=3}\)

Teraz sprawdzamy która wartość spełnia założenia:

\(\displaystyle{ x_{1}=-2}\)
\(\displaystyle{ 9-x^2=5 >0}\)

\(\displaystyle{ 4-3x=4+6=10 >0}\)
Czyli \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest pierwszym rozwiązaniem.

\(\displaystyle{ x_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ 9-x^2=0}\) pasuje

\(\displaystyle{ 4-3x=4-9=-5<0}\) nie pasuje
\(\displaystyle{ x_{2}}\) nie spełnia założenia i odpada

2) Zakładamy że:

\(\displaystyle{ 9-x^2>=0}\)

\(\displaystyle{ 4-3x<0}\)

wtedy:
\(\displaystyle{ 9-x^2+1+4-3x-2x=0}\)

\(\displaystyle{ -x^2-5x+14=0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{25-4 \cdot (-1) \cdot 14} =9}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{5+9}{-2}=-7}\)

\(\displaystyle{ x_{3}=\frac{5-9}{-2}=2}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=-7}\)
\(\displaystyle{ 9-x^2=9-49=-40 <0}\) nie spełnia

\(\displaystyle{ x_{3}=2}\)
\(\displaystyle{ 9-x^2=9-4=5 >0}\) spełnia

\(\displaystyle{ 4-3x=4-6=-2 <0}\) spełnia
\(\displaystyle{ x_{3}}\) jest drugim rozwiązaniem

3) Teraz na odwrót

\(\displaystyle{ 9-x^2<0}\)

\(\displaystyle{ 4-3x \ge 0}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ -9+x^2+1-4+3x-2x=0}\)

\(\displaystyle{ x^2+x-12=0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1-4 \cdot (1) \cdot (-12)} =7}\)

\(\displaystyle{ x_{5}=\frac{-1+7}{2}=3}\)

\(\displaystyle{ x_{6}=\frac{-1-7}{2}=-4}\)
i znowu sprawdzamy:

\(\displaystyle{ x_{5}=3}\)
\(\displaystyle{ 9-x^2=0}\) nie spełnia
czyli \(\displaystyle{ x_{5}}\) odpada i nie ma co sprawdzać dalej

\(\displaystyle{ x_{6}=-4}\)
\(\displaystyle{ 9-x^2=9-16=-7<0}\) spełnia

\(\displaystyle{ 4-3x=4+12=16>0}\)spełnia
\(\displaystyle{ x_{6}}\) jest trzecim rozwiązaniem.

4)I ostatnia możliwość obie ujemne:

\(\displaystyle{ 9-x^2<0}\)

\(\displaystyle{ 4-3x<0}\)

wtedy:
\(\displaystyle{ -9+x^2+1+4-3x-2x=0}\)

\(\displaystyle{ x^2-5x-4=0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{25-4 \cdot (1) \cdot (-4)} =\sqrt{41}}\)

\(\displaystyle{ x_{7}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x8=\frac{5-\sqrt{41}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{7}}\)
\(\displaystyle{ 9-x^2=9-\left( \frac{\left( 5+\sqrt{41}\right) ^2}{4}\right)}\)

Nawet jeśli przyjmiemy że \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) to 6, a jest więcej, mniej niż 7, to wtedy mamy

\(\displaystyle{ 9-\frac{121}{4} <0}\)czyli pasuje

\(\displaystyle{ 4-3x=4-3\frac{(5+\sqrt{41})}{2}=4-15/2 -\frac{3\sqrt{41}}{2} <0}\)

czwarte rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x_{7}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{8}}\)
\(\displaystyle{ 9-x^2=9-\left( \frac{\left( 5-\sqrt{41}\right) ^2}{4}\right)}\)

załóżmy że w najlepszym przypadku \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) to 7, a jest mniej, ale więcej niż 5, wtedy mamy
\(\displaystyle{ 9- \frac{4}{4} >0}\)
czyli \(\displaystyle{ x_{8}}\) nie spełnia założenia i odpada

Rozwiązanie równania:
\(\displaystyle{ \left| 9-x^2\right|+1-\left| 4-3x\right| -2x=0}\)
to:
\(\displaystyle{ x_{1}=-2}\)

\(\displaystyle{ x_{3}=2}\)

\(\displaystyle{ x_{6}=-4}\)

\(\displaystyle{ x_{7}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}}\)

***
ostatnia edycja: 6 września 2014, godz. 10:22
***
Wszelkie uwagi/propozycje bądź znalezione błędy/nieścisłości w artykule proszę kierować na PW

Zablokowany