Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3040
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Post autor: loitzl9006 » 21 mar 2014, o 19:35

\(\left| 9-x^2\right|+1-\left| 4-3x\right| =2x\)

1. Wyznaczamy argumenty (czyli iksy), dla których wyrażenia w wartościach bezwzględnych przyjmują wartość zero:

\(9-x^2=0 \\ 9=x^2 \\ \blue x=3 \black \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x=-3 \black \\ \\ 4-3x=0 \\ \blue x=\frac43\)


2. Tworzymy przedziały o końcach w wyznaczonych wcześniej punktach:

\(A: \ x\in\left( -\infty; -3\right\rangle\)

\(B: \ x\in\left( -3;\frac43\right\rangle\)

\(C: \ x\in\left( \frac43;3\right\rangle\)

\(D: \ x\in\left( 3;+\infty\right)\)


3. Rozwiązujemy równanie dla każdego z przedziałów:

a) \(A: \ x\in\left( -\infty; -3\right\rangle\)

Wybieramy dowolną liczbę (najlepiej całkowitą) z przedziału \(A\). Unikamy wartości krańcowych (takich jak \(x=-3\)).
W tym przypadku wygodnie wybrać liczbę \(x=-5\).
Wstawiamy wybraną liczbę do wyrażeń znajdujących się między kreskami wartości bezwzględnej (czyli do \(9-x^2\) oraz \(4-3x\)).
Obliczamy wartości obu wyrażeń. Dla nas jest istotne wyłącznie to, czy obliczone wartości są dodatnie czy ujemne:

\(9-x^2=9-(-5)^2=9-25=-16\) (wartość ujemna)

\(4-3x=4-3\cdot (-5)=4+15=19\) (wartość dodatnia)

Jeżeli obliczona wartość wyrażenia okaże się ujemna to rozwiązując dalej równanie, zamieniamy znaki w tym wyrażeniu między kreskami na przeciwne, zaś same kreski zamieniamy na nawiasy.
Jeżeli obliczona wartość okaże się dodatnia to rozwiązując dalej równanie, zamieniamy pionowe kreski w tym wyrażeniu na nawiasy:

\(\left( -9+x^2\right)+1-\left( 4-3x\right) =2x\)

Opuszczamy nawiasy i szukamy potencjalnych rozwiązań naszego równania z wartością bezwzględną:

\(-9+x^2+1-4+3x=2x \\ x^2+x-12=0 \\ \blue x_1=-4 \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=3\)

Otrzymane liczby \(x_1=-4, \ x_2=3\) muszą należeć do przedziału, w którym rozwiązujemy równanie (akurat tutaj jest to przedział \(A\)). Jeżeli któraś z liczb nie należy, to nie jest ona rozwiązaniem równania.

\(x_1=-4 \in A \\ x_2=3 \notin A\)

\(x_1=-4\) jest rozwiązaniem równania, zaś \(x_2=3\) nie jest.


b) \(B: \ x\in\left( -3;\frac43\right\rangle\)

Wybieramy np. liczbę \(0\):

\(0 \in B\)

\(9-x^2=9-0^2=9\) (wartość dodatnia)

\(4-3x=4-3\cdot 0=4\) (wartość dodatnia)

\(\left( 9-x^2\right)+1-\left( 4-3x\right) =2x \\ 9-x^2+1-4+3x=2x \\ -x^2+x+6=0 \\ \blue x_1=-2 \in B \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=3 \notin B\)

\(x_1=-2\) jest rozwiązaniem równania, zaś \(x_2=3\) nie jest.

c) \(C: \ x\in\left( \frac43;3\right\rangle\)

Wybieramy np. liczbę \(2\):

\(2\in C\)

\(9-x^2=9-2^2=9-4=5\) (wartość dodatnia)

\(4-3x=4-3\cdot 2=4-6=-2\) (wartość ujemna)

\(\left( 9-x^2\right)+1-\left( -4+3x\right) =2x \\ 9-x^2+1+4-3x=2x \\ -x^2-5x+14=0 \\ \blue x_1=-7 \notin C \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=2 \in C\)

\(x_2=2\) jest rozwiązaniem równania, zaś \(x_1=-7\) nie jest.

d) \(D: \ x\in\left( 3;+\infty\right)\)

Wybieramy np. liczbę \(4\):

\(4 \in D\)

\(9-x^2=9-4^2=9-16=-7\) (wartość ujemna)

\(4-3x=4-3\cdot 4=4-12=-8\) (wartość ujemna)

\(\left( -9+x^2\right)+1-\left( -4+3x\right) =2x \\ -9+x^2+1+4-3x=2x \\ x^2-5x-4=0 \\ \blue x_1=\frac{5-\sqrt{41}}2 \approx -0.7 \black \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \blue x_2=\frac{5+\sqrt{41}}2 \approx 5.7\)

\(x_2=\frac{5+\sqrt{41}}2\) jest rozwiązaniem równania bo należy do zbioru \(D\), zaś \(x_1=\frac{5-\sqrt{41}}2\) nie jest, bo do zbioru \(D\) nie należy.

***
Podsumowując, rozwiązaniem równania \(\left| 9-x^2\right|+1-\left| 4-3x\right| =2x\) są liczby:

\(\blue x=-4, \ x=-2, \ x=2, \ x=\frac{5+\sqrt{41}}2\)

***

Można rozwiązać to nieco inaczej - metodą zaproponowaną przez użytkownika Jarmil:

\(|9-x^2|+1-|4-3x|-2x=0\)

1) Zakładamy że:

\(9-x^2 \ge 0\)

\(4-3x \ge 0\)

wtedy:
\(9-x^2+1- 4+3x -2x=0\)

\(-x^2+x+6=0\)

\(\sqrt{1-4 \cdot (-1) \cdot 6} =5\)

\(x_{1}=\frac{-1+5}{-2}=-2\)

\(x_{2}=\frac{-1-5}{-2}=3\)

Teraz sprawdzamy która wartość spełnia założenia:

\(x_{1}=-2\)
\(9-x^2=5 >0\)

\(4-3x=4+6=10 >0\)
Czyli \(x_{1}\) jest pierwszym rozwiązaniem.

\(x_{2}=3\)
\(9-x^2=0\) pasuje

\(4-3x=4-9=-5<0\) nie pasuje
\(x_{2}\) nie spełnia założenia i odpada

2) Zakładamy że:

\(9-x^2>=0\)

\(4-3x<0\)

wtedy:
\(9-x^2+1+4-3x-2x=0\)

\(-x^2-5x+14=0\)

\(\sqrt{25-4 \cdot (-1) \cdot 14} =9\)

\(x_{2}=\frac{5+9}{-2}=-7\)

\(x_{3}=\frac{5-9}{-2}=2\)

\(x_{2}=-7\)
\(9-x^2=9-49=-40 <0\) nie spełnia

\(x_{3}=2\)
\(9-x^2=9-4=5 >0\) spełnia

\(4-3x=4-6=-2 <0\) spełnia
\(x_{3}\) jest drugim rozwiązaniem

3) Teraz na odwrót

\(9-x^2<0\)

\(4-3x \ge 0\)

Czyli:
\(-9+x^2+1-4+3x-2x=0\)

\(x^2+x-12=0\)

\(\sqrt{1-4 \cdot (1) \cdot (-12)} =7\)

\(x_{5}=\frac{-1+7}{2}=3\)

\(x_{6}=\frac{-1-7}{2}=-4\)
i znowu sprawdzamy:

\(x_{5}=3\)
\(9-x^2=0\) nie spełnia
czyli \(x_{5}\) odpada i nie ma co sprawdzać dalej

\(x_{6}=-4\)
\(9-x^2=9-16=-7<0\) spełnia

\(4-3x=4+12=16>0\)spełnia
\(x_{6}\) jest trzecim rozwiązaniem.

4)I ostatnia możliwość obie ujemne:

\(9-x^2<0\)

\(4-3x<0\)

wtedy:
\(-9+x^2+1+4-3x-2x=0\)

\(x^2-5x-4=0\)

\(\sqrt{25-4 \cdot (1) \cdot (-4)} =\sqrt{41}\)

\(x_{7}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}\)

\(x8=\frac{5-\sqrt{41}}{2}\)

\(x_{7}\)
\(9-x^2=9-\left( \frac{\left( 5+\sqrt{41}\right) ^2}{4}\right)\)

Nawet jeśli przyjmiemy że \(\sqrt{41}\) to 6, a jest więcej, mniej niż 7, to wtedy mamy

\(9-\frac{121}{4} <0\)czyli pasuje

\(4-3x=4-3\frac{(5+\sqrt{41})}{2}=4-15/2 -\frac{3\sqrt{41}}{2} <0\)

czwarte rozwiązanie:
\(x_{7}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}\)

\(x_{8}\)
\(9-x^2=9-\left( \frac{\left( 5-\sqrt{41}\right) ^2}{4}\right)\)

załóżmy że w najlepszym przypadku \(\sqrt{41}\) to 7, a jest mniej, ale więcej niż 5, wtedy mamy
\(9- \frac{4}{4} >0\)
czyli \(x_{8}\) nie spełnia założenia i odpada

Rozwiązanie równania:
\(\left| 9-x^2\right|+1-\left| 4-3x\right| -2x=0\)
to:
\(x_{1}=-2\)

\(x_{3}=2\)

\(x_{6}=-4\)

\(x_{7}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}\)

***
ostatnia edycja: 6 września 2014, godz. 10:22
***
Wszelkie uwagi/propozycje bądź znalezione błędy/nieścisłości w artykule proszę kierować na PW

Zablokowany