Nierówność z wartością bezwzględną

[jja]

\(\displaystyle{ \left|2x+3 \right|<4\left|x-1 \right|}\)

\(\displaystyle{ 2x+3<4x-4 \Rightarrow x> \frac{7}{2}}\)
\(\displaystyle{ -2x-3<-4x+4 \Rightarrow x< \frac{7}{2}}\)

Proszę o sprawdzenie.

[pyzol]

Oj to nie takie proste. Spróbuj najpierw narysować wykresy tych funkcji.
Żeby to rozwiązać należy rozpatrzeć 3 przypadki:
\(\displaystyle{ |2x+3|= \begin{cases}2x+3,\text{ dla } x \ge -3/2\\ -2x-3 \text{ dla } x < -3/2 \end{cases}\\
|x-1|= \begin{cases}x-1,\text{ dla } x \ge 1\\ 1-x \text{ dla } x < 1 \end{cases}}\)
Teraz rozpatrujesz przypadki dla przedziałów:
\(\displaystyle{ (-\infty;-3/2],(-3/2;1],(1;\infty]}\) i sprawdzasz czy jaką postać mają wyrażenia.

[szw1710]

Niestety wszystko źle. U mnie zero punktów. Miejsca zerowe wyrażeń podmodułowych to \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\). Musisz rozważyć następujące przypadki:

1. \(\displaystyle{ x<-\frac{3}{2}\,,}\)
2. \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}\le x<1\,,}\)
3. \(\displaystyle{ x\ge 1\,.}\)

Po ich rozważeniu wyznacz sumę zbiorów rozwiązań każdego z przypadków.

[jja]

\(\displaystyle{ x \in (- \infty , \frac{-3}{2}) \Rightarrow -2x-3<-4x+4 \Rightarrow x< \frac{7}{2}}\)
\(\displaystyle{ x in [ frac{-3}{2},1) Rightarrow 2x+3<-4x+4 Rightarrow x< frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ x in [1, infty ) Rightarrow 2x+3<4x-4 Rightarrow x> frac{7}{2}}\)
Dobrze?

[szw1710]

A kto porówna to wszystko z dziedzinami przypadków? Opuszczenie modułów poprawne. Obecnie 1 punkt na 4 możliwe.

[jja]

\(\displaystyle{ x \in (- \infty , \frac{-3}{2} ) \cup ( \frac{7}{2}, \infty)}\)
Tego pierwszego przedziału nie jestem pewien

[szw1710]

Lewy przedział niedobrze - zobacz na przypadek 2 - źle go analizujesz.

[jja]

drugi przypadek czyli \(\displaystyle{ x in [ frac{-3}{2},1)}\) wychodzi że \(\displaystyle{ x< \frac{1}{6}}\) nie wiem jak to zinterpretować \(\displaystyle{ x in [ frac{-3}{2}, frac{1}{6}}\)??

[szw1710]

Tak. Połącz to z przypadkiem 1.

[jja]

Ostatecznie \(\displaystyle{ x in (- infty , frac{1}{6}) cup [ frac{-3}{2}, infty )}\)

[szw1710]

Nie. Teraz lewy przedział OK, w poprzedniej odpowiedzi prawy był dobrze. Połącz to razem. Ciepło, ale jeszcze nie to.

[Majeskas]

Inna propozycja rozwiązania. Moim zdaniem, znacznie przyjemniejsza:

\(\displaystyle{ \left| 2x+3\right|<4\left| x-1\right|}\)


\(\displaystyle{ \left( 2x+3\right)^2<16\left( x-1\right)^2}\)


\(\displaystyle{ \left( 4x-4\right)^2-\left( 2x+3\right)^2>0}\)


\(\displaystyle{ \left( 4x-4+2x+3\right)\left( 4x-4-2x-3\right)>0}\)


\(\displaystyle{ \left( 6x-1\right)\left( 2x-7\right)>0}\)


\(\displaystyle{ \left( x- \frac{1}{6} \right)\left( x- \frac{7}{2} \right)>0}\)


\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty , \frac{1}{6} \right) \cup \left( \frac{7}{2},+ \infty \right)}\)

[szw1710]

Zgoda, to proste, ale tylko dla dwóch modułów. Załatw tak trzy Zatem metoda miejsc zerowych wyrażeń podmodułowych jest bardziej uniwersalna. Nie umniejszając Twojemu rozwiązaniu, które w istocie jest eleganckie.

[Majeskas]

Owszem, zdaje sobie sprawę, że nie jest to nic uniwersalnego. Ale uważam, że warto na niektóre przypadki znać takie triki. Choćby na maturę się przydaje. Dlatego to napisałem.

[szw1710]

W drugą stronę, jeśli coś jest do wszystkiego, to jest do niczego W pełni podzielam opinię o konieczności znajomości tricków, czyli metod rozwiązania zadań bardzo konkretnego typu. Użycie odpowiedniego narzędzia może znacznie przyspieszyć rozwiązanie problemu. Nie tylko w matematyce.