Matematyka.pl

Jak wyznaczyć przedziały dla równania z kilkoma wartościami bezwzględnymi? chciałbym, żeby ktoś mi to wyjaśnił łopatologicznie na poniższym przykładzie:

\(\displaystyle{ \left| x \right| - \left| x -1 \right| = 2}\)

z góry dziękuje

Słuchaj Rafał. Masz dwie wartości bezwzględne w tym równaniu, rozpiszmy każdą z nich łopatologicznie.

\(\displaystyle{ \left| x \right| = \begin{cases} x, \ x \in <0; \infty ) \\ -x, \ x \in (- \infty;0 ) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \left| x - 1 \right| = \begin{cases} x - 1, \ x \in <1; \infty ) \\ -(x -1) = -x +1, \ x \in (- \infty;1 ) \end{cases}}\)

Miejsce zmiany postaci wartości bezwzględnej przypada w punkcie w którym się ona zeruje.
\(\displaystyle{ \left| x \right| = 0 \Rightarrow x = 0}\)
\(\displaystyle{ \left| x - 1 \right| = 0 \Rightarrow x = 1}\)

Jak widać, można wyodrębnić 3 przedziały tj. \(\displaystyle{ (- \infty;0 )}\), \(\displaystyle{ <0; 1 )}\), \(\displaystyle{ <1; \infty )}\). Wyznaczasz to na takiej zasadzie, że patrzysz na wartości bezwzględne które rozpisałeś i szukasz przedziałów w których postacie poszczególnych wartości bezwzględnych nie ulegają zmianie. Jeżeli żadna z wartości bezwzględnej w równaniu nie zawiera innej wartości bezwzględnej to tych przedziałów będziesz miał zawsze o jeden więcej niż wartości bezwzględnych.

Te przedziały możesz też wyznaczyć rozwiązując układy nierówności:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow x \ge 1 \Rightarrow x \in <1; \infty )}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x < 1 \end{cases} \Rightarrow x \in <0; 1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x < 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x < 0 \\ x - 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x < 1 \end{cases} \Rightarrow x < 0 \Rightarrow x \in (- \infty;0 )}\)

Klamra działa jak spójnik \(\displaystyle{ \wedge}\). Jak widać masz znów te same 3 przedziały

Jak poprawnie rozpiszesz wartości bezwzględne to widać gdzie te przedziały się rozpoczynają na gdzie kończą

I teraz to równanie w zależności od przedziału będzie przyjmowała różne postacie.

-- 14 lipca 2011, 16:37 --

Prosiłeś na GG o rozwiązanie do końca, żebyś wiedział jak to zrobić.

\(\displaystyle{ \left| x \right| - \left| x -1 \right| = 2}\)

Wyrażenie \(\displaystyle{ \left| x \right| - \left| x -1 \right|}\) w zależności od dziedziny przyjmuje 3 różne postacie:

\(\displaystyle{ \left| x \right| - \left| x -1 \right| = \begin{cases} - x - \left[ -(x -1)\right], \ x \in (- \infty;0 ) \\ x - \left[ -(x -1)\right], \ x \in <0; 1) \\ x - (x - 1), \ x \in <1; \infty ) \end{cases}}\)

Rozpatrzymy sprawę w 3 przypadkach


\(\displaystyle{ 1^{O}}\) dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty;0 )}\)

\(\displaystyle{ - x - \left[ -(x -1)\right] = 2}\)

\(\displaystyle{ - x + (x -1) = 2}\)

\(\displaystyle{ - x + x -1 = 2}\)

\(\displaystyle{ -1 \neq 2}\)
brak rozwiązania



\(\displaystyle{ 2^{O}}\) dla \(\displaystyle{ x \in <0; 1)}\)

\(\displaystyle{ x - \left[ -(x -1)\right] = 2}\)

\(\displaystyle{ x + (x -1) = 2}\)

\(\displaystyle{ x + x -1 = 2}\)

\(\displaystyle{ 2x = 2 + 1}\)

\(\displaystyle{ 2x = 3 \ \ |:2}\) (dzielenie obustronne)

\(\displaystyle{ x = \frac{3}{2} \ \not\in <0; 1)}\)
brak rozwiązania (rozwiązanie, które wyszło nie mieści się w dziedzinie w której rozpatrujemy to równanie)


\(\displaystyle{ 3^{O}}\) dla \(\displaystyle{ x \in <1; \infty )}\)

\(\displaystyle{ x - (x - 1) = 2}\)

\(\displaystyle{ x - x + 1 = 2}\)

\(\displaystyle{ 1 \neq 2}\)
brak rozwiązania


zbierasz teraz wszystkie z trzech przypadków i wychodzi Ci że:

\(\displaystyle{ x \in \emptyset}\)

Czyli nie istnieje taki \(\displaystyle{ x}\), który spełniał by równanie \(\displaystyle{ \left| x \right| - \left| x -1 \right| = 2}\)

Pamiętaj, "brak rozwiązania" też jest rozwiązaniem, tylko musisz to zaznaczyć przy odpowiedzi.

Zadanie rozwiązane (mam nadzieję, że nigdzie nie zrobiłem żadnego głupiego błędu). Bardziej łopatologicznie chyba tego nie da się zrobić...

Dzięki Hadar, czy mógłbyś sprawdzić dla mnie jeszcze jeden przykład bardzo podobny i zweryfikować czy dobrze określiłem dziedziny funkcji oraz czy obrałem dobry tok myślenia przy rozwiązaniu? Z góry dziękuje:

\(\displaystyle{ 2\left| x-1\right| +3\left| x+5\right| =7}\)
\(\displaystyle{ \left| x - 1 \right| = \begin{cases} x - 1, \ x \in <1; \infty ) \\ -(x -1) = -x +1, \ x \in (- \infty;1 ) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left| x + 5 \right| = \begin{cases} x + 5, \ x \in <5; \infty ) \\ -(x +5) = -x -5, \ x \in (- \infty;5 ) \end{cases}}\)

Mamy 3 przedziały: \(\displaystyle{ (- \infty;1 ) ; < 1;\ 5 ) ; (5; \infty )}\)

1. Dla \(\displaystyle{ \ x \in (- \infty;1 )}\)
\(\displaystyle{ x-1<0;}\) więc \(\displaystyle{ \left| x-1\right| = -(x-1) = -x+1}\)
\(\displaystyle{ x+5 \le \ 0;}\) więc \(\displaystyle{ \left| x+5\right| = -(x+5) = -x-5}\)

\(\displaystyle{ 2\left| x-1\right| + 3\left| x+5\right| = 7}\)
\(\displaystyle{ 2\left( -\left( x-1\right) \right) + 3\left( -\left( x+5\right) \right) = 7}\)
\(\displaystyle{ 2\left( -x+1\right) + 3\left( -x-5\right) = 7}\)
\(\displaystyle{ -2x+2-3x-15=7}\)
\(\displaystyle{ -5x=20}\)
\(\displaystyle{ x=-4}\)

2. Dla \(\displaystyle{ \ x \in < 1;\ 5 )}\)
\(\displaystyle{ x-1 \ge\ 0;}\) więc \(\displaystyle{ \left| x-1\right| = x-1}\)
\(\displaystyle{ x+5>0;}\) więc \(\displaystyle{ \left| x+5\right| = x+5}\)

\(\displaystyle{ 2\left| x-1\right| + 3\left| x+5\right| = 7}\)
\(\displaystyle{ 2x-2+3x+15=7}\)
\(\displaystyle{ 5x=-6}\)
\(\displaystyle{ x= -\frac{5}{6}}\)

3. Dla \(\displaystyle{ \ x \in (5; \infty )}\)
\(\displaystyle{ x-1 \ge\ 0;}\) więc \(\displaystyle{ \left| x-1\right| = x-1}\)
\(\displaystyle{ x+5>0;}\) więc \(\displaystyle{ \left| x+5\right| = x+5}\)

\(\displaystyle{ 2\left| x-1\right| + 3\left| x+5\right| = 7}\)
\(\displaystyle{ 2x-2+3x+15=7}\)
\(\displaystyle{ 5x=-6}\)
\(\displaystyle{ x= -\frac{5}{6}}\)

Czyli w sumie wychodzi, że tylko w pierwszym przypadku mamy rozwiązanie

RafalW pisze: \(\displaystyle{ \left| x + 5 \right| = \begin{cases} x + 5, \ x \in <5; \infty ) \\ -(x +5) = -x -5, \ x \in (- \infty;5 ) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \left| x + 5 \right| = 0 \Rightarrow x = -5}\)

źle wyznaczony przedział, dalej nie sprawdzałem.