Równania i nierówności + wartość bezwzględna

[Tomasz B]

Mam problem z rozwiazaniem równań i nierówności

1. ||x| + 1| = 7 powinno wyjść: x= -6 lub x=6

2. |3 - |2y + 1|| = 15 powinno wyjść: y= -9 1/2 lub y= 8 1/2
----------------------------------------------------------------------------------

1. ||z| + 1| < 6 powinno wyjść: z e (-5;5)

2. |2 - |t - 1|| > 10 powinno wyjść t e (-inf; -11) U (13; +inf)

[arigo]

poczatek jest ten sam
ad 1 i 2
|x| = a x=a lub x=-a
ad 3
|x| < a x -a
ad 4
|x| > a x >a lub x < -a


a nastepnie rozpisz |x| z definicji

[W_Zygmunt]

Zadania w których jest ||x| + 1|, można uprościć bo
Vx |x|>=0 ==> |x|+1 >0 ==> ||x| + 1| = |x| + 1

[Tomasz B]

cos mi nie wychodzą następne a pierwsze:
||x| + 1 | = 7 x+1=7 lub x-1= -7
x=6 x= -6
hmm dobrze ??

[Yavien]

tak, dobrze.
Jak zaczynasz nastepne, w ktorym miejscu sie zacinasz?

[Tomasz B]

ok no to po kolei jedziemy w zad. 2 nie wiem gdzie pozmieniać znaki :

|3 - |2y+1||=15 -3-2y-1=15
-2y=19
y=-9 1/2

lub

|3 - |2y+1||=15 3-2y-1=-15
-2y=17
y=-8 1/2

Hmm przed chwilą mi to tak wyszło tylko nie do konca wiem na jakiej zasadzie są zmienane znaki..gdybym nie miał wyników to bym zbłądził po drodze a tak mając wyniki intuicyjnie dopasowałem znaki

[Yavien]

nie, nie modulow pozbywasz sie po kolei, nie dwa na raz:
|3 - |2y+1||=15 (3 - |2y-1|) = 15 lub (3 - |2y-1|) = - 15
Rozpisujemy teraz dwa przypadki:

(1)
3 - |2y-1| = 15
|2y - 1| = 3 - 15 = -12 to nie moze byc, poniewaz |a|>= 0 dla wszystkich a

(2)
3 - |2y-1| = -15
|2y - 1| = 15 + 3 = 18
Mamy wiec, ze |2y - 1| = 18 (2y - 1) = 18 lub (2y - 1) = -18
sprawdzasz teraz te dwa...

/zwykle przy 2 modulach sa 4 przypadki, ale bywa, ze niektore sa sprzeczne/

[Tomasz B]

(2)
3 - |2y-1| = -15
|2y - 1| = 15 + 3 = 18

hmm nie powinno być
3- |2y-1| = -15
|2y-1|= -15 - 3 = -18

??

[Tomasz B]

Spróbowałem rozwiązać dwa następne przykłady:

||z| + 1| < 6

||z| + 1| < 6 z+1-6
z-5

-----------------------------------------------------------


|2-|t-1|| > 10

|t-1| > 12
|t-1| > 12 t-1>12 U t-113 U t

[Yavien]

przed modulem z 2y -1 jest minus.
Odnosnie pytania na PW:
| |x| + 1| = |x|+ 1 poniewaz |x|>=0, 1>=0 i pomiedzy tymi rzeczami jest plus Potem to trzeba rozpisywac (zreszta to zrobiles juz)
ooops, nie przyuwazylam, ze wczesniej nie bylo do konca dobrze, sooorry
W zadaniu 1 powinno byc tak:

||x| + 1 | = 7
|x| + 1 = 7 lub |x| - 1 = -7
to drugie odpada, bo po przeniesieniu na druga strone 1 bedzie |x| = -6, a modul nie jest ujemny zostaje wiec:
|x| = 6 wiec
x = -6 lub x = 6

[Tomasz B]

dzieki za odp. i pomoc a te 2 ostanie zadania zrobiłem dobrze

[Yavien]

nie, tez powinienes uwzglednic drugi modul, nie od razu dwa

[Tomasz B]

hmm w tym pierwszym chyba nie trzeba

||z| + 1| < 6

||z| + 1| < 6 z+1-6
z-5


a w drugim :

|2-|t-1|>10

(1) |2-|t+1|>10

|t+1|>2-10=-8

i co dalej ? >
(2)|t + 1| >12 t-1-12
t= 13 U t=-11

[Yavien]

hmm w tym pierwszym chyba nie trzeba

||z| + 1| < 6

||z| + 1| < 6 z+1-6
z-5

Przypadkiem wychodzi na to samo, ale powinno sie to uwzgledniac:
||z| + 1| < 6 |z| + 1 < 6 i |z| + 1>-6 lewe strony sa dokladnie takie same, opuszczamy tylko modul!
(1)
|z| + 1 < 6
|z| < 5 (czyli z-5)
(2)
|z| + 1 > - 6
|z| > - 5 to jest spelnione dla kazdej liczby rzeczywistej (modul jest zawsze >=0)
rozwiazaniem tej nierownosci jest wiec przedzial (-5 ; 5)

Popatrz tez na ten watek: https://matematyka.pl/viewtopic.php?p=9816#9816 Moze metoda geometryczna bedzie Ci bardziej pasowala (tylko slabo sie ja tlumaczy via net )

[Tomasz B]

Ok dziekuje