Wartość bezwzględna i parametr

intel86 · Post autor: **intel86** » 22 lut 2006, o 20:31

Dla jakich wartości parametru a równanie lx-1l = a � -4a-1 ma dwa dodatnie pierwiastki?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 22 lut 2006, o 20:50

Znów zrobimy to z własności. Rozbijemy to równanie z wartością bezwzględną na alternatywę dwóch równań. W każdym z tych równań dojdziemy do x w jakiejś postaci, który ma być większy od zera. Pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ x-1=a^2-4a-1}\)
\(\displaystyle{ x=a^2-4a}\)
\(\displaystyle{ a^2-4a>0}\)
\(\displaystyle{ a(a-4) >0}\)
\(\displaystyle{ a \in (- \infty;0) \cup (4; \infty)}\)
Drugie równanie:
\(\displaystyle{ x-1=-a^2+4a+1}\)
\(\displaystyle{ x=-a^2+4a+2}\)
\(\displaystyle{ -a^2+4a+2>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \Delta}= 2 \sqrt{6}}\)
Wyliczamy pierwiastki i odczytujemy, że nasz przedział to:
\(\displaystyle{ a ( 2-\sqrt{6} ; 2+ \sqrt{6})}\)
Skoro obydwa rozwiązania mają być dodatnie, to bierzemy część wspólną z uzyskanych zbiorów i odpowiedź końcowa to \(\displaystyle{ a ( 2- \sqrt{6};0) \cup (4; 2+ \sqrt{6})}\).

intel86 · Post autor: **intel86** » 22 lut 2006, o 21:23

Heh. To zadanie było łatwiejsze niż myśąłem:) . Dzięki za pomoc.
Mam jeszcze jedno zadanko z dwoma parametrami:
Rozwiąż równanie a�(x-1)-ab=b�(x+1)+ab gdzie a i b sa parametrami

Tristan · Post autor: **Tristan** » 22 lut 2006, o 22:05

Mam prośbę tak na przyszłość - pisz w Texu. Aby nie doszło do kolizji oznaczeń, przekształcę sobie parametry a i b na m i n. Mamy wtedy \(\displaystyle{ m^2(x-1)-mn=n^2(x+1)+mn}\).

1.Przekształcamy dane równanie do postaci liniowej (\(\displaystyle{ ax+b=0}\)):
\(\displaystyle{ m^2 x-m^2-mn=n^2 x+n^2+mn}\)
\(\displaystyle{ (m^2 - n^2)x-m^2 -n^2 -2mn=0}\)
\(\displaystyle{ (m^2 -n^2)x-(m^2 +n^2 +2mn)=0}\)
\(\displaystyle{ (m^2- n^2)x-(m+n)^2=0}\)
Kolejnymi współczynnikami są: \(\displaystyle{ a=m^2 - n^2}\) i \(\displaystyle{ b=-(m+n)^2}\)
2.Dyskusja liczby rozwiązań równania.
a) Nasze równanie jest oznaczone, gdy \(\displaystyle{ a 0}\), czyli:
\(\displaystyle{ m^2 - n^2 0}\)
\(\displaystyle{ (m-n)(m+n) 0}\)
\(\displaystyle{ m n m -n}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ m n}\) i \(\displaystyle{ m -n}\) oraz \(\displaystyle{ -(m+n)^2 R}\) (współczynnik b może być dowolny) równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x=\frac{(m+n)^2}{m^2-n^2}=\frac{(m+n)(m+n)}{(m+n)(m-n)}=\frac{m+n}{m-n}}\)
b) Nasze równanie jest nieoznaczone gdy \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ m^2-n^2=0 -(m+n)^2=0}\)
\(\displaystyle{ (m-n)(m+n)=0 m+n=0}\)
Koniunkcja ta zachodzi dla m=n=0.
Zatem dla m=0 i n=0 równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań ( \(\displaystyle{ x R}\)).
c) Równanie jest przeczne gdy \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b 0}\), czyli:
\(\displaystyle{ m^2 -n^2=0 -(m+n)^2 0}\)
\(\displaystyle{ (m-n)(m+n)=0 m+n 0}\)
Wynika z tego, że\(\displaystyle{ m-n=0}\) więc \(\displaystyle{ m=n}\). Zatem dla \(\displaystyle{ m 0}\) i \(\displaystyle{ n 0}\) równanie nie ma rozwiązań.

florek177 · Post autor: **florek177** » 23 lut 2006, o 20:17

Tristan zapomniał o jeszcze jednym warunku, a mianowicie: \(\displaystyle{ a^{2}-4*a-1>0}\); skoro lewa strona jest zawsze dodatnia to prawa tez musi być dodatnia.
Więc:
\(\displaystyle{ x\in( 2-sqrt{6};2-sqrt{5} ) \cup ( 2+sqrt{5} ; 2+sqrt{6} )}\)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 23 lut 2006, o 21:35

Tak, przeoczyłem to

. Chciałbym jeszcze nanieść jedną poprawkę. Mianowicie ta nierówność powinna wyglądać następująco: \(\displaystyle{ a^2-4a-1 \geq 0}\). Wynika to z faktu, że w końcu wartością pod modułem może być zero. Dlatego też, już ostatecznie, przedział który powinien znaleźć się w odpowiedzi to \(\displaystyle{ a \in (2- \sqrt{6}; 2- \sqrt{5}> \cup < 2+ \sqrt{5}; 2+ \sqrt{6})}\).