Wykazywanie własności wartości bezwzględnych

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
tomika92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
Płeć: Kobieta
wiek: 28
Podziękował: 3 razy

Wykazywanie własności wartości bezwzględnych

Post autor: tomika92 » 14 paź 2020, o 22:55

Jestem na prawdę kiepska w dowodach. Mam wykazać, że poniższe równania/nierówności są prawdziwe i w ogóle nie wiem jak się do tego zabrać.

1. \(\displaystyle{ \left| a\right| ^{2} = a^{2} = ( -a^{2} )}\)
2. \(\displaystyle{ \left| a\right| \ge 0 }\)
3. \(\displaystyle{ \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{a}{b} }\) o ile \(\displaystyle{ b \neq 0}\)
4. \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = 2\left| ab\right| \Rightarrow ???}\)
5. \(\displaystyle{ \left| \left| a\right| - \left| b\right| \right| \le \left| a - b\right| }\)
6. \(\displaystyle{ a +b + c = 0 \Rightarrow ab + bc + ac \le 0}\)
7. \(\displaystyle{ \left( a + b + c = 0 \wedge ab + ac +bc = 0\right) \Rightarrow ???}\)

Z góry dzięki za pomoc

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 473
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 142 razy

Re: Wykazywanie własności wartości bezwzględnych

Post autor: JHN » 15 paź 2020, o 01:41

tomika92 pisze:
14 paź 2020, o 22:55
7. \(\displaystyle{ \left( a + b + c = 0 \wedge ab + ac +bc = 0\right) \Rightarrow ???}\)
\(\displaystyle{ a + b + c = 0 \\ (a+b+c)^2=0}\)
Ukryta treść:    
Pozdrawiam
PS. 6. zacząłbym tak samo...

Dodano po 21 minutach 50 sekundach:
tomika92 pisze:
14 paź 2020, o 22:55
5. \(\displaystyle{ \left| \left| a\right| - \left| b\right| \right| \le \left| a - b\right| }\)
Ze znanych faktów: \(\displaystyle{ |x|\ge x,\ |xy|=|x||y|,\ |x|^2=x^2,\ \sqrt{x^2}=|x|}\) mamy
\(\displaystyle{ |ab|\ge ab\ \ \ |\cdot (-2)}\)
\(\displaystyle{ -2|a||b|\le -2ab\ \ \ |+a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ (|a|-|b|)^2\le (a-b)^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(|a|-|b|)^2}\le \sqrt{(a-b)^2}}\)
\(\displaystyle{ ||a|-|b||\le|a-b|}\)
c.k.d.

Pozdrawiam

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26736
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4470 razy

Re: Wykazywanie własności wartości bezwzględnych

Post autor: Jan Kraszewski » 15 paź 2020, o 08:33

tomika92 pisze:
14 paź 2020, o 22:55
1. \(\displaystyle{ \left| a\right| ^{2} = a^{2} = ( -a^{2} )}\)
No to nie jest prawda. Powinno być

\(\displaystyle{ \left| a\right| ^{2} = a^{2} = ( -a)^{2}. }\)

JK

tomika92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
Płeć: Kobieta
wiek: 28
Podziękował: 3 razy

Re: Wykazywanie własności wartości bezwzględnych

Post autor: tomika92 » 15 paź 2020, o 09:09

Jan Kraszewski pisze:
15 paź 2020, o 08:33
tomika92 pisze:
14 paź 2020, o 22:55
1. \(\displaystyle{ \left| a\right| ^{2} = a^{2} = ( -a^{2} )}\)
No to nie jest prawda. Powinno być

\(\displaystyle{ \left| a\right| ^{2} = a^{2} = ( -a)^{2}. }\)

JK
Faktycznie. Pomyłka.

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 473
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 142 razy

Re: Wykazywanie własności wartości bezwzględnych

Post autor: JHN » 15 paź 2020, o 14:50

tomika92 pisze:
14 paź 2020, o 22:55
3. \(\displaystyle{ \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{a}{b} }\) o ile \(\displaystyle{ b \neq 0}\)
Też nie jest ogólną własnością!

Pozdrawiam
PS. W nocy serwer był strasznie zamulony...

tomika92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
Płeć: Kobieta
wiek: 28
Podziękował: 3 razy

Re: Wykazywanie własności wartości bezwzględnych

Post autor: tomika92 » 15 paź 2020, o 15:38

JHN pisze:
15 paź 2020, o 14:50
tomika92 pisze:
14 paź 2020, o 22:55
3. \(\displaystyle{ \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{a}{b} }\) o ile \(\displaystyle{ b \neq 0}\)
Też nie jest ogólną własnością!
Czyli jak powinnam przestawić odpowiedź na ten przypadek?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26736
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4470 razy

Re: Wykazywanie własności wartości bezwzględnych

Post autor: Jan Kraszewski » 15 paź 2020, o 15:53

tomika92 pisze:
15 paź 2020, o 15:38
Czyli jak powinnam przestawić odpowiedź na ten przypadek?
Powinnaś poprawnie przepisać zadanie:

\(\displaystyle{ \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} }\) o ile \(\displaystyle{ b \neq 0}\).

JK

tomika92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
Płeć: Kobieta
wiek: 28
Podziękował: 3 razy

Re: Wykazywanie własności wartości bezwzględnych

Post autor: tomika92 » 15 paź 2020, o 15:57

Jan Kraszewski pisze:
15 paź 2020, o 15:53
tomika92 pisze:
15 paź 2020, o 15:38
Czyli jak powinnam przestawić odpowiedź na ten przypadek?
Powinnaś poprawnie przepisać zadanie:

\(\displaystyle{ \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} }\) o ile \(\displaystyle{ b \neq 0}\).

JK
Nie zauważyłam. Faktycznie.

ODPOWIEDZ