Udowodnić indukcyjnie że podany ciąg zadany rekurencyjnie jest rosnący:
\(\displaystyle{ x_1=1, \ x_{n+1}=1+ \sqrt{x_n+5}}\)
Wiem jakie jest założenie i teza tzn.
1) Założenie \(\displaystyle{ x_{n+1}>x_{n}}\)
2) Teza \(\displaystyle{ x_{n+2}>x_{n+1}}\)
Ale nijak nie mogę dojść do końca dowodu.
Dziękuję z góry za pomoc:)
Udowodnic ze podany ciag jest rosnacy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnic ze podany ciag jest rosnacy
Z uwagi na to, że w oczywisty sposób wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie (więc można pierwiastkować do woli), założenie jest równoważne kolejno:
\(\displaystyle{ x_{n+1} + 5 > x_n + 5 \\
\sqrt{x_{n+1} + 5} > \sqrt{x_n + 5} \\
1+ \sqrt{x_{n+1} + 5} > 1+ \sqrt{x_n + 5} \\
x_{n+2} > x_{n+1}}\)
więc w szczególności z założenia wynika teza.
Q.
\(\displaystyle{ x_{n+1} + 5 > x_n + 5 \\
\sqrt{x_{n+1} + 5} > \sqrt{x_n + 5} \\
1+ \sqrt{x_{n+1} + 5} > 1+ \sqrt{x_n + 5} \\
x_{n+2} > x_{n+1}}\)
więc w szczególności z założenia wynika teza.
Q.