Rekurencja

[zeeb2000]

Podaj jawny wzór na Sn, udowodnij indukcyjnie poprawność:
\(\displaystyle{ S_{n}=3a_{n-1}+2a_{n-2}}\) , \(\displaystyle{ S_{0}=1}\) , \(\displaystyle{ S_{1}=2}\)

Zacząłem tak:
\(\displaystyle{ S_{2}=3\cdot S_{1}+2 S_{0}=8}\)

\(\displaystyle{ S_{3}=3 S_{2}+2 S_{1}=28}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-3x-2=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=9+8=17}\) \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{17}}\)

\(\displaystyle{ r_{1}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\) \(\displaystyle{ r_{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\)

\(\displaystyle{ S_{n}=C_{1} (r_{1})^{n}+C_{2} (r_{2})^{n}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}S_{0}=3 (r_{1})^{0}+2 (r_{2})^{0}\\S_{1}=3 (r_{1})^{1}+2 (r_{2})^{1}\end{cases}}\)

Tu leżę z tym zadaniem nie wychodzi mi\(\displaystyle{ S_{0}S_{1}}\), nie mogę obliczyć\(\displaystyle{ C_{1}C_{2}}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ \begin{cases}S_{0}=3 (r_{1})^{0}+2 (r_{2})^{0}\\S_{1}=3 (r_{1})^{1}+2 (r_{2})^{1}\end{cases}}\)

Nie tak, lecz:
\(\displaystyle{ \begin{cases}S_0=1=C_1 (r_{1})^{0}+C_2 (r_{2})^{0}\\S_{1}=2=C_1 (r_{1})^{1}+C_2 (r_{2})^{1}\end{cases}}\)
Dostajemy więc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}1=C_1 +C_2 \\2=C_1 \frac{3-\sqrt{17}}{2}+C_2 \frac{3+\sqrt{17}}{2}\end{cases}}\)
skąd łatwo obliczyć szukane stałe.

Q.

[zeeb2000]

Wielkie dzięki troczę się pogubiłem, ale już wszystko wiem. Biorę się za liczenie.

[ Dodano: 14 Grudnia 2008, 22:08 ]
Wie ktoś może jak rozwiązać ten układ równań. Wychodzą mi czary.

[ Dodano: 15 Grudnia 2008, 23:34 ]
umie ktoś to zadanie dokończyć wiszę nad nim drugi dzień. wyszło mi \(\displaystyle{ C_{1}=\frac{\sqrt{17}-17}{34}}\) i co dalej?