podzielność przez 19

[zeeb2000]

Mam takie wyrażenie \(\displaystyle{ 19|5*2^{3n-2}+3^{3n-1}}\)
Powiem szczerze, indukcja nie należy do mojej mocnej strony.
Wykonałem pierwszy krok dla n=1 - wyrażenie jest prawdziwe.
Założenie:
\(\displaystyle{ 5*2^{3k-2}+3^{3k-1}=19l}\)
Teza:
\(\displaystyle{ 5*2^{3(k+1)-2}+3^{3(k+1)-1}=19l}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 5*2^{3k+1}+3^{3k+2}=}\) i tu się kończy mój podbój tego zadania.

[wb]

\(\displaystyle{ 5*2^{3k-2}+3^{3k-1}=19l 3^{3k-1}=19l-5*2^{3k-2}}\)
Teza:
\(\displaystyle{ 5*2^{3(k+1)-2}+3^{3(k+1)-1}=19m}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 5*2^{3k+1}+3^{3k+2}=5 2^{3k+1}+3^3 3^{3k-1}=5 2^{3k+1}+3^3 (19l-5*2^{3k-2})= \\ =5 2^{3k+1}+27 19l-27 5 2^{3k-2}=5 2^3 2^{3k-2}+27 19l-27 5 2^{3k-2}= \\ =27 19l-19 5 2^{3k-2}=19(27l-5 2^{3k-2})}\)

[zeeb2000]

Wielkie dzięki tylko nie bardzo rozumiem dlaczego pod koniec jest
\(\displaystyle{ 27\cdot19l-19\cdot5\cdot2^{3k-2}}\)
proszę o wyjaśnienie

[Jan Kraszewski]

Ponieważ \(\displaystyle{ 27-2^3=19.}\)
JK