Nierówność podwójna.

[FEMO]

Udowodnij nierówności

\(\displaystyle{ n^{\frac{n}{2}}}\)

[aga92]

Tutaj nie trzeba korzystać z indukcji:
\(\displaystyle{ (n!) ^{2} = (1*2*...*n) * (n*...*2*1) = (1*n) * (2*(n-1)) * ... * (n*1) \geqslant n*n*...*n = n^{n}}\)
\(\displaystyle{ (n!)^{2} \geqslant n^{n}}\)
\(\displaystyle{ n! \geqslant n^{\frac{n}{2}}}\)


Z nierówności pomiędzy średnimi:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n} \leqslant \frac{1+2+...+n}{n}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!} \leqslant \frac{(1+n) \cdot n}{2n}}\)
\(\displaystyle{ n! \leqslant ( \frac{n+1}{2})^{n}}\)

Dla \(\displaystyle{ n>2}\) nierówności te są ostre.

[Jan Kraszewski]

Tak na marginesie - w obu rozumowaniach jest użyta indukcja, choć w sposób niejawny...

Choć oczywiście ze szkolnego punktu widzenia są to dowody "bez indukcji".

JK

[FEMO]

a za pomocą indukcji też dało by się? bo jednak zadanie jest na szkolną indukcje