Podaj jawny wzór na Sn i udowodnij indukcyjnie poprawnosc

[madzia122]

Witam serdecznie.Nie daje rady z zadankiem tego typu, nie potrafie go zrobic, czy ktos bedzie tak mily i poratuje mnie z nim. Z gory serdecznie dziekuje.
\(\displaystyle{ a_n=-2a_n_-_1-2a_n_-_2}\) gdzie \(\displaystyle{ a_0=0, a_1=2}\)

[Qń]

Jeśli wolno używać równania charakterystycznego, to ma ono tu postać \(\displaystyle{ t^2+2t+2=0}\), skąd po obliczeniu pierwiastków \(\displaystyle{ -1 i}\) dostaniemy, że \(\displaystyle{ a_n=b(i-1)^n+c(-i-1)^n}\), a po wyznaczeniu stałych dostajemy, że \(\displaystyle{ a_n=(i-1)^n-(-i-1)^n}\), co łatwo udowodnić indukcyjnie.

Jeśli zaś tej metody nie znamy, to wypisujemy parę(naście) pierwszych wyrazów ciągu:
\(\displaystyle{ 0,2,-4,4,0-8,16,-16,0, 32, -64, 64, 0, \dots}\)
i zgadujemy, że będzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a_{4k+1} = 0 \\
a_{4k+2} = 2\cdot (-4)^k \\
a_{4k+3} = -4\cdot (-4)^k \\
a_{4k+4} = 4\cdot (-4)^k
\end{case}}\)
co też już w miarę łatwo udowodnić indukcyjnie.

Q.

[madzia122]

Wlasnie tej pierwszej metody nie mozemy stosowac bo jej jeszce nie znamy:) a z ta druga to tez mam troszke zamotki moglbys kolego rozpisac dokladnie jak to ma byc....Prosze i dzieki za pomoc jak do tej pory...Pozdro

[djdeaka]

Mam do rozwiązania podobne zadanie i utknąłem na zbudowaniu równania charakterytycznego ("pierwsza metoda"), mianowicie:

\(\displaystyle{ a _{n} = 3 a_{n-1} + a_{n-2}}\)

dla \(\displaystyle{ a_{0}=1 , a_{1}=1}\)

widzę, że:

\(\displaystyle{ a_{2} = 3 1 + 1 = 4}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = 3\cdot 4 + 1 = 13}\)
\(\displaystyle{ a_{4} = 3\cdot 13 + 4 = 43}\) itd.

ale chyba za głupi jestem żeby wzór ogólny zbudować z tego.

edit:

na podstawie informacji z tego posta polskiegomiśka o równaniach charakterytycznych (nie mogę podawać linków w postach), zgaduję (niestety), że równanie charakterystyczne dla powyższego \(\displaystyle{ S_{n}}\) wynosi:

\(\displaystyle{ x^{2} = -2x^{1} - 2x^{0}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x^{2} = -2x - 2}\) - czy to jest poprawne równanie charakterytyczne ?

Jeśli poprawne to wyliczenie pierwiastków daje \(\displaystyle{ x_{1}=-2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=0}\), tak?

Czyli wzór jawny miałby postać: \(\displaystyle{ S_{n} = C_{1} (-2)^{n} + C_{2} 0^{n}}\)