indukcja matematyczna
indukcja matematyczna
Wykaż ze ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) , \(\displaystyle{ n\in N}\) gdzie \(\displaystyle{ a_{1}}\)=\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ a_{n+1}}\)=\(\displaystyle{ \sqrt{2a_{n} }}\) jest rosnący i ograniczony.
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
indukcja matematyczna
Wykażemy, że ciąg jest rosnący. Zakładamy, że \(\displaystyle{ a_{k+1}>a_{k}}\), więc teza indukcyjna to \(\displaystyle{ a_{k+2} >a_{k+1}}\). Dowód:
\(\displaystyle{ a_{k+2}=\sqrt { 2 a_{k+1}} > \sqrt{ 2 a_{k} }=a_{k+1}}\)
Pokażemy teraz, że ciąg jest ograniczony z góry przez dwa. Zakładamy oczywiście, że \(\displaystyle{ a_{k} 2}= 2}\)
\(\displaystyle{ a_{k+2}=\sqrt { 2 a_{k+1}} > \sqrt{ 2 a_{k} }=a_{k+1}}\)
Pokażemy teraz, że ciąg jest ograniczony z góry przez dwa. Zakładamy oczywiście, że \(\displaystyle{ a_{k} 2}= 2}\)