Dówód równości

[kangurka]

może ktoś pomóc mi rozpisac ten oto przykład?:

wykaż że dla każdego \(\displaystyle{ n \mathbb{N}_+}\) :
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 3} + \frac{1}{3 5} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}}\)

byłabym b. wdzięczna

[luka52]

Spr. dla \(\displaystyle{ n_0 = 1}\) jest oczywiste.

Zał.
\(\displaystyle{ T(k): \ \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}}\)

Teza
\(\displaystyle{ T(k+1): \ \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}}\)

Dowód
\(\displaystyle{ L_T = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \\
= \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3} = P_T}\)

[kangurka]

dzięki.,ale dlaczego n(2n+3)+1 = (n+1)(2n+1)
wiem ze ciemna jestem ale mózg mi paruje już

[luka52]

\(\displaystyle{ n(2n+3) + 1 = 2n^2 + 3n + 1 = 2n^2 + 2n + n + 1 = (n+1)(2n+1)}\)

PS. Tak na przyszłość to radzę zapoznać się z LaTeX-em https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951